Đề Toán chuyên Phan Bội Châu 2024-2025 (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
NGHỆ AN 
(Đề thi gồm 01 trang) 
ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
NĂM HỌC: 2024-2025 
MễN: TOÁN CHUYấN 
Ngày thi: 08/06/2024 
Thời gian làm bài: 150 phỳt 
Bài 1. (6,0 điểm) 
a) Giải phương trỡnh 4 26 20 24 0 x x x . 
b) Giải hệ phương trỡnh 
2 22 2 0
2 3 4 4 2 2 1 2 1. 
y y x y
x y x y y
Bài 2. (3,0 điểm) 
a) Cho , ,x y z là cỏc số nguyờn thỏa món đẳng thức 3 xy yz zx . 
Chứng minh 2 2 22 3 2 3 3 A x xz y yz z là một số chớnh phương. 
b) Tỡm tất cả cỏc nghiệm nguyờn của phương trỡnh 3 33 73 2025 3 x xy y . 
Bài 3. (2,0 điểm) Cho , ,a b c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc cú chu vi bằng 8 thỏa món 
1 1 1 5
4
 a b c a c b b c a
. 
Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: 
2 2 2(4 ) (4 ) (4 )
4 4 4 4 4 4
a b cP
b c c a a b
. 
Bài 4. (7,0 điểm) Cho tam giỏc nhọn ABC cú AB BC CA , nội tiếp đường trũn O . Cỏc đường 
cao ,AD BE và CF của tam giỏc ABC cắt nhau tại H . Tia AD cắt đường trũn O tại điểm 
G , tia GE cắt đường trũn O tại điểm I ( G khỏc A và I khỏc G ). Gọi J là giao điểm 
của BI và ,EF K là giao điểm của OA và EF . 
a) Chứng minh . . . . HF CE BC HC BF EF . 
b) Chứng minh JE JF và //HJ DK . 
c) Gọi P là điểm đối xứng với O qua đường thẳng ,CF Q là điểm đối xứng với O qua đường 
thẳng BE và N là trung điểm của đoạn thẳng PQ . Chứng minh NJ EF . 
Bài 5. (2,0 điểm) Cho lục giỏc đều cú cạnh bằng 6 cm . Hỏi cú thể đặt vào trong lục giỏc đú 7 hỡnh trũn 
cú bỏn kớnh bằng 2 cm , sao cho bất kỡ hai hỡnh trũn nào trong 7 hỡnh trũn đú khụng cú điểm 
trong chung? 
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
NGHỆ AN 
ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
NĂM HỌC: 2024-2025 
MễN: TOÁN CHUYấN 
Ngày thi: 08/06/2024 
Thời gian làm bài: 150 phỳt 
Bài 1. (6,0 điểm) 
a) Giải phương trỡnh 4 26 20 24 0 x x x . 
b) Giải hệ phương trỡnh 
2 22 2 0
2 3 4 4 2 2 1 2 1. 
y y x y
x y x y y
Lời giải 
a) Giải phương trỡnh 4 26 20 24 0 x x x . 
4 26 20 24 0 x x x 
4 3 2 3 2 22 6 2 4 12 4 8 24 0 x x x x x x x x 
 2 2 2 22 6 2 2 6 4 2 6 0 x x x x x x x x 
 2 22 6 2 4 0 x x x x 
2
2
2 6 0
2 4 0 (VN)
x x
x x
1 7
1 7
x
x
Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là 1 7; 1 7 S 
b) Giải hệ phương trỡnh 
2 22 2 0 (1)
2 3 4 4 2 2 1 2 1 (2) 
y y x y
x y x y y
Điều kiện 1
2
y . 
PT (1) 2 22 2 0y y y x 
 22 1 2 0y y y x 
 22 1 0y y x 
TH1: 2y (khụng thỏa món 1
2
y ). 
TH2: 2 21 2 3 2 1x y x y và 23 3 3y x . 
Thay vào phương trỡnh (2), ta được: 
 2 2 22 3 3 4 4 2 2 3 2 3x x x x x 
 2 2 2 22 2 3 4 4 2 2 3 2 3x x x x x x 
 22 2 22 2 3 2 3 2 2 3 2x x x x x (*) 
Đặt 22 3 3
2
x a a
x b
. Khi đú phương trỡnh trở thành: 
 3 2 22 0a b a b 3 2 3 3 0a a b a b 
 2 2 2 0a a b a b a ab b 
 2 22 0a b a ab b . 
Vỡ 
2
2 2 272 0
2 4
ab ab a b a 
 (vỡ 3a ) 
nờn 0a b a b 22 3 2x x 
2 2 2 2 5 10 4 52 3 4 4 4 1 0
2 2 2 5 10 4 5
x yx x x x x
x x x y
 (thỏa món). 
Vậy , 2 5 ; 10 4 5 , 2 5 ; 10 4 5x y . 
CÁCH 2: 
2 22 2 0 1
2 3 4 4 2 2 1 2 1 2
y y x y
x y x y y
Điều kiện 1
2
y 
Phương trỡnh (2) 2 2 2 2
2
2 2 0 2 1 0
1
y
y y x y y y x
y x
2 1y x (vỡ 1
2
y ). 
Thay 2 1y x vào phương trỡnh (2) ta được 
 2 2 22 3 4 7 2 2 3 2 3x x x x x (*) 
Do 2 22 2 3 2 3 0x x 22 3 4 7 0 2 0 2x x x x x (vỡ 
23 4 7 0x x với mọi x ). 
Phương trỡnh (*) 3 2 2 2 23 10 15 14 2 2 3 2 2 2 3 2 3 2x x x x x x x x 
 3 2 2 22 9 2 2 2 3 2 3 2x x x x x x 
2
2 2
2
4 12 4 1 2 2 3
2 3 2
x xx x x x
x x
2
2
2
4 1 0
4 62
2 3 2
x x
xx
x x
. 
Xột 2
2 5
4 1 0
2 5
x
x x
x
Xột 
2
2
4 62
2 3 2
xx
x x
 (vụ nghiệm vỡ với 2x thỡ 
2
2
4 62 0 )
2 3 2
xVT x Vp
x x
Bài 2. (3,0 điểm) 
a) Cho , ,x y z là cỏc số nguyờn thỏa món đẳng thức 3 xy yz zx . 
Chứng minh 2 2 22 3 2 3 3 A x xz y yz z là một số chớnh phương. 
b) Tỡm tất cả cỏc nghiệm nguyờn của phương trỡnh 3 33 73 2025 3 x xy y . 
Lời giải 
a) Cho , ,x y z là cỏc số nguyờn thỏa món đẳng thức 3 xy yz zx . 
Chứng minh 2 2 22 3 2 3 3 A x xz y yz z là một số chớnh phương. 
 2 2 22 3 2 x xz x xz xy yz zx x xz xy yz x z x y 
Tương tự: 2 2 3 y yz y z y x 
 2 23 z z yz zx xy z zx y 
Suy ra 22 2 22 3 2 3 3 A x xz y yz z x y x z y z là số chớnh phương. 
b) Tỡm tất cả cỏc nghiệm nguyờn của phương trỡnh 3 33 73 2025 3 x xy y . 
Ta cú: 3 33 33 73 2025 03 73 2025 3 x y xx xy y y 
 23 3 73 2025 0x y x y xy xy . (1) 
Đặt 
x y a
xy b
. Khi đú phương trỡnh (1) trở thành: 
 23 3 73 2025 0a a b b 39 73 3 2025b a a . 
TH1: 739 73 0
9
a a (loại) 
TH2: 
33 20259 73 0
9 73
aa b
a
3729 492 075243
9 73
ab
a
2 103 058243 81 657 5329
9 73
b a a
a
. 
Vỡ ,x y nờn , 243a b b . 
Do đú 9 73 103 058 1; 2; 227; 454; 51529; 103 058ệa . 
Giải ta được , 8; 489 , 103 058; 11 459a b 
+) Với 28 8 8 489 8 489 0
489 489
a x y
y y y y
b xy
 (vụ nghiệm). 
+) Với 103 058 103 058 103 058 11 459
11 459 11 459
a x y
y y
b xy
2 103 058 11 459 0y y (khụng cú nghiệm nguyờn). 
Vậy phương trỡnh đó cho khụng cú nghiệm nguyờn. 
Bài 3. (2,0 điểm) Cho , ,a b c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc cú chu vi bằng 8 thỏa món 
1 1 1 5
4
 a b c a c b b c a
. 
Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: 
2 2 2(4 ) (4 ) (4 )
4 4 4 4 4 4
a b cP
b c c a a b
. 
Lời giải 
Đặt
2
 2
2
a b c x
a c b y
b c a t
 2 8 
a b c x y t
c y t
b x t
a x y
4 x y z 
Ta cú: 4 ; 4 ; 4 a x y t x y z b y c x 
Bài toỏn đưa về thành: Cho , , 0 x y z thỏa món 1 1 5
2
4
1
 x y z
x y z
 2 5 1xy yz zx xyz 
Khụng mất tớnh tổng quỏt, giả sử min , ,z x y z 2 4
5 3
 z 
Tỡm min
22 2
 x yP
xy yz
z
xz
Ta cú: 
33 3 3 ( ) 3 3 
x y z x y z xy yz tx xyzx y zP
xyz xyz
 64 6.2 3 xy yz zx xyz
xyz
64 27 
xyz
Từ (1) 5 2 2xy z z x y 
 2 5 2 2 4 xyz z z z 
 22 4 
5 2
z z
xyz
z
Ta sẽ chứng minh 
2
2 32 4 2 8 2 10 4
5 2
z z
z z z
z
3 2 2 8 10 4 0 z z z 
 2( 1) 2 0 z z (luụn đỳng) 
64 27 5 
2
 P đạt được khi 
1
3
2
z
x y
xy
1
2
1
x
y
z
 hoặc 
2
1
1
x
y
z
3
2
a b
c
 và cỏc hoỏn vị. 
Bài 4. (7,0 điểm) Cho tam giỏc nhọn ABC cú AB BC CA , nội tiếp đường trũn O . Cỏc đường 
cao ,AD BE và CF của tam giỏc ABC cắt nhau tại H . Tia AD cắt đường trũn O tại điểm 
G , tia GE cắt đường trũn O tại điểm I ( G khỏc A và I khỏc G ). Gọi J là giao điểm 
của BI và ,EF K là giao điểm của OA và EF . 
a) Chứng minh . . . . HF CE BC HC BF EF . 
b) Chứng minh JE JF và //HJ DK . 
c) Gọi P là điểm đối xứng với O qua đường thẳng ,CF Q là điểm đối xứng với O qua đường 
thẳng BE và N là trung điểm của đoạn thẳng PQ . Chứng minh NJ EF . 
Lời giải 
a) Chứng minh . . . . HF CE BC HC BF EF . 
Vỡ HBC HFE (g.g) BC HB
EF HF
Mặt khỏc CEH BFH (g.g) CE HC
BF HB
Từ đú ta cú: 1    HF CE BC HF HC HB
HC BF EF HC HB HF
    HF CE BC HC BF EF 
b) Chứng minh JE JF và //HJ DK . 
Vỡ EFB EHD  (g.g) EF FB
EH HD
2 2
EF FB FB
EH HD HG
 (1) 
Mặt khỏc FBJ HGE  (g.g) FB FJ
HG EH
 (2) 
Từ (1) và (2) ta cú: 
2
EF FJ
EH EH
 hay 2EF FJ 
Hay JE JF 
Gọi M là trực tõm của AEF . Khi đú HEMF là hỡnh bỡnh hành 
Cú J là trung điểm của EF nờn J là trung điểm của HM 
Mặt khỏc do AKE ADB  (g.g) AK AE
AD AB
 (3) 
Ta cũng cú: ABH AEM (cựng phụ với ABC ) nờn ABH AEM  AE AM
AB AH
 (4) 
Từ (3) và (4) ta cú: AK AM
AD AH
 hay AM AH
AK AD
HM DK  
Mà , ,H M J thẳng hàng nờn HJ DK 
I 2 
I 1 
V 
U 
Y X 
N 
P 
Q 
M 
I 
J 
K 
H 
O 
F 
E 
G 
D 
C B 
A 
c) Gọi P là điểm đối xứng với O qua đường thẳng ,CF Q là điểm đối xứng với O qua đường 
thẳng BE và N là trung điểm của đoạn thẳng PQ . Chứng minh NJ EF . 
Gọi X ,Y lần lượt là trung điểm AB , AC . 
Gọi giao điểm của CF , BE với đường trũn O lần lượt là U , V . 
Ta dễ thấy AU AV . 
Gọi giao điểm của OP và CF là 1I , giao điểm của OQ và BE là 2I . 
Ta cú 2OI EY là hỡnh chữ nhật 
2EY OI nờn 1EY NI . 
1EYI N là hỡnh bỡnh hành 
1 2
AUNE YI 
Tương tự 
2
AVNF 
NE NF . 
Suy ra điều phải chứng minh. 
Bài 5. (2,0 điểm) Cho lục giỏc đều cú cạnh bằng 6 cm . Hỏi cú thể đặt vào trong lục giỏc đú 7 hỡnh trũn 
cú bỏn kớnh bằng 2 cm , sao cho bất kỡ hai hỡnh trũn nào trong 7 hỡnh trũn đú khụng cú điểm 
trong chung? 
Lời giải 
Xột lục giỏc đều ABCDEF cú cạnh bằng 6cm . 
Giả sử cú thể cú một cỏch sắp xếp 7 hỡnh trũn thỏa món yờu cầu 1 . 
Dựng hỡnh lục giỏc đều LMNOPQ sao cho mỗi cạnh của hỡnh lục giỏc này cỏch cạnh tương 
ứng của hỡnh lục giỏc lớn 2cm . 
Dễ thấy tõm của 7 hỡnh trũn này phải nằm trờn lục giỏc đều LMNOPQ . 
2cm
P
O
N
Q
F
E
D
A
C
B
M
L
Dễ tớnh được lục giỏc đều này cú cạnh: 3 3 2 6 3,7 cm
3 3
  
Chia hỡnh lục giỏc đều này thành 6 tam giỏc đều. 
Theo nguyờn lý Dirichlet cú một tam giỏc đều chứa ớt nhất hai tõm, khi đú khoảng cỏch giữa 
hai tõm này lớn hơn 4 cm, do đú lớn hơn cạnh của tam giỏc đều đú (vụ lý ). 
Từ đú suy ra giả sử 1 là khụng đỳng. 
Vậy khụng thể cú một cỏch sắp xếp 7 hỡnh trũn thỏa món yờu cầu bài toỏn. 
 HẾT 