Tổng hợp 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án)

 Tổng hợp 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 DeThiToan.net Tổng hợp 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 ĐỀ SỐ 1
 UBND TỈNH HÀ NAM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10, 11 
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THPT VÀ LỚP 12 GDTX CẤP TỈNH
 ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2024 - 2025
 (Đề thi gồm 02 trang) Môn: Toán 11
 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I. (4,0 điểm)
1. Một chiếc cầu bắc qua sông, mặt dưới gầm cầu có dạng cung AB của đồ thị hàm số 
 8 3 x
y cos 2 với x  6 ;6  được mô tả trong hệ trục toạ độ Oxy với đơn vị trục là 
 3 12
mét (trục Ox mô tả mặt nước sông) như hình minh họa dưới đây.
Một sà lan chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chữ nhật với độ cao 6 mét so 
với mặt nước sông sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều rộng 
của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn 12,6 mét. 
2. Cho phương trình sin 3x cos 2x m sin x 1 với m là tham số. Tìm tất cả các giá 
trị của m để phương trình có đúng 7 nghiệm khác nhau thuộc khoảng ;2 .
 2 
Câu II. (4,0 điểm)
1. Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 22,5mét. Giả sử sau mỗi lần chạm đất quả 
bóng cao su lại nảy lên độ cao bằng 80% độ cao của lần rơi trước. Tính chiều dài quãng 
đường quả bóng cao su di chuyển từ khi được thả đến khi không nảy nữa.
 ïì u1 = 2025
2. Cho dãy số (u ) xác định bởi íï .
 n ï n u - u = 2 u + 3 , n Î ¥ *
 îï ( n+ 1 n ) ( n )
 u
Tìm số hạng tổng quát của dãy số u và tính lim n .
 n n2
Câu III. (2,0 điểm) 
 f (x) 1 (x2 x) f (x) 2
Cho hàm số f x thỏa mãn lim 16 . Tính lim .
 x 1 x 1 x 1 x 1
 DeThiToan.net Tổng hợp 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThiToan.net
Câu IV. (2,0 điểm)
Ba cầu thủ đá phạt đền 11m, mỗi người đá một lần với xác suất ghi bàn tương ứng là x, y và 
0,6 (với x > y). Biết xác suất để ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn là 0,976 và xác suất để 
cả ba cầu thủ đều ghi bàn là 0,336. Tính xác suất để có đúng hai cầu thủ ghi bàn.
Câu V. (6,0 điểm)
1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Mặt phẳng ( )không đi 
qua S cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q sao cho SA = 2SM và SC = 3SP. 
 푆 푆 
Tính + .
 푆 푆푄
2. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’, điểm M nằm trên cạnh AC sao cho AM = kMC. 
Mặt phẳng P đi qua M song song với hai đường thẳng AB’ và A’C Gọi N là giao điểm của 
 5
mặt phẳng P và đường thẳng BC. Tìm k để = .
 3
3. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi M là một điểm bất 
kì thuộc miền trong tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 MA2 MB2 MC 2
T . 
 OA2 OB2 OC 2
Câu VI. (2,0 điểm)
 1 1 1
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 6.
 3a 2b c
 a b c
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P .
 a 4bc b 9ca c 36ab
 ------------HẾT------------
 DeThiToan.net Tổng hợp 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 ĐÁP ÁN
 Câu Sơ lược lời giải Điểm
 1. Một chiếc cầu bắc qua sông, mặt dưới gầm cầu có dạng cung AB của 
 8 3 x
 đồ thị hàm số y cos 2 với x  6 ;6  được mô tả trong hệ 
 3 12
 trục toạ độ Oxy với đơn vị trục là mét (trục Ox mô tả mặt nước sông) như 
 hình minh họa dưới đây
 2,0
 Một sà lan chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chữ nhật với độ 
 cao 6 mét so với mặt nước sông sao cho sà lan có thể đi qua được gầm 
 cầu. Chứng minh rằng chiều rộng của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn 
 12,6 mét. 
 Xét điểm M x; y nằm trên cung AB, khoảng cách từ điểm M đến mặt 
 nước tương ứng với giá trị tung độ y của điểm M.
 I 8 3 x 0,5
 Xét phương trình y cos 2 6 .
 (4,0 3 12 
điểm) x 3 x 3 0,5
 cos cos 
 12 2 12 2
 x 0,5
 Vì x  6 ;6  ;
 12 2 2 
 x 3 x 
 nên ta có cos x 2 hay x 2 .
 12 2 12 6 0,5
 Do sà lan có thể đi qua được gầm cầu nên chiều rộng khối hàng hoá là 
 2 x 4 12,56 12,6.
 2. Cho phương trình sin 3x cos 2x m sin x 1 với m là tham số.
 0,25
 Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng 7 nghiệm khác 
 nhau thuộc khoảng ;2 . 0,25
 2 
 sin 3x cos 2x m sin x 1
 0,25
 3sin x 4sin3 x 1 2sin2 x msin x 1
 4sin3 x 2sin2 x m 3 sin x 0
 DeThiToan.net Tổng hợp 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 Câu Sơ lược lời giải Điểm
 t 0 0,25
 Đặt sin x t với t  1;1. Ta có 2
 4t 2t m 3 0 * 
 Với t 0 thì sin x 0 x k , có 2 nghiệm là 0; thuộc ;2 .
 2 0,25
 Với mỗi giá trị t 1; 0 thì phương trình sin x t có 3 nghiệm thuộc 
 ;2 .
 2 
 Với mỗi giá trị t 0;1 thì phương trình sin x t có 2 nghiệm thuộc 
 0,25
 ;2 .
 2 
 Để pt có đúng 7 nghiệm thỏa mãn thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm 
 t1 ;t2 thỏa mãn điều kiện: 1 t1 0 t2 1.
 * m 4t 2 2t 3 f t 0,5
 Từ bảng biến thiên trên ta có m 1;3 .
 1. Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 22,5 mét. Giả sử sau mỗi lần 
 chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng 80% độ cao của lần rơi trước. 
 2,0
 Tính chiều dài quãng đường quả bóng cao su di chuyển từ khi thả đến khi 
 không nảy nữa.
 *
 Gọi hn là độ dài đường đi của quả bóng ở lần rơi xuống thứ n n ¥ .
 II * 0,5
 Gọi ln là độ dài đường đi của quả bóng ở lần nảy lên thứ n n ¥ .
 (4,0 
 4
điểm) Theo bài ra ta có h 22,5, l .22,5 18 và các dãy số h , l là các 
 1 1 5 n n
 4 0,5
 cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q .
 5
 h
 Tổng quãng đường rơi xuống h 1 112,5
 4 0,5
 1 
 5
 DeThiToan.net Tổng hợp 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThiToan.net
Câu Sơ lược lời giải Điểm
 l 0,5
 Tổng quãng đường nảy lên l 1 90
 4
 1 
 5
 Từ đó ta suy ra tổng độ dài đường đi của quả bóng là:
 S h l 202,5 m .
 ïì u1 = 2025
 2. Cho dãy số (u ) xác định bởi íï .
 n ï n(u - u )= 2(u + 3), n Î ¥ *
 îï n+ 1 n n 2,0
 u
 Tìm số hạng tổng quát của dãy số u và tính lim n .
 n n2
 Từ giả thiết ta có: n(un+1 - un )= 2(un + 3)
 n.un 1 n 2 un 6 
 u u 6
 n 1 n 
 n 2 n n n 2 
 u u 6
 n 1 n 
 n 1 n 2 n n 1 n n 1 n 2 
 0,5
 u
 +) Đặt v n ,n ¥ * 
 n n n 1 
 2025
 v 
 1 2
 Ta được dãy v :
 n 6
 v v ,n ¥ *
 n 1 n n n 1 n 2
 0,5
 6 6 6
 Ta có v v ;v v ;v v 
 2 1 1.2.3 3 2 2.3.4 n n 1 n 1 .n n 1 
 Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được
 1 1 1 
 v v 6 ... 
 n 1 
 1.2.3 2.3.4 n 1 n n 1 
 0,5
 2025 6 1 1 1 1 1 1 
 v ... 
 n 
 2 2 1.2 2.3 2.3 3.4 n 1 n n n 1 
 3
 v 1014 
 n n n 1 
 Do đó un 1014n n 1 3 0,5
 u 1014n n 1 3
 n 
 n2 n2
 DeThiToan.net Tổng hợp 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 Câu Sơ lược lời giải Điểm
 u 1014n n 1 3
 Vậy lim n lim 1014
 n2 n2
 f (x) 1
 Cho hàm số f x thỏa mãn lim 16 . 
 x 1 x 1
 (x2 x) f (x) 2
 Tính lim .
 x 1 x 1 0,25
 (x2 x) f (x) 2 (x2 x) f (x) 1 x2 x 2
 lim lim
 x 1 x 1 x 1 x 1 0,5
 III
 (x2 x) f (x) 1 x2 x 2
 (2,0 lim lim
 x 1 x 1 x 1 x 1 0,5
điểm)
 (x2 x) f (x) 1 f (x) 1
 +/ lim lim(x2 x).lim 2.16 32
 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0,5
 x2 x 2 (x 1)(x 2)
 +/ lim lim lim(x 2) 3
 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0,25
 (x2 x) f (x) 2
 Vậy lim 32 3 29
 x 1 x 1
 Ba cầu thủ đá phạt đền 11m, mỗi người đá một lần với xác suất ghi bàn 
 tương ứng là x, y và 0,6 (với x > y). Biết xác suất để ít nhất một trong ba 
 2,0
 cầu thủ ghi bàn là 0,976 và xác suất để cả ba cầu thủ đều ghi bàn là 
 0,336. Tính xác suất để có đúng hai cầu thủ ghi bàn.
 Gọi A là biến cố: “ Có ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn”
 B “ Cả ba cầu thủ đều ghi bàn” 0,25
 C “Có đúng hai cầu thủ ghi bàn”
 Gọi Ai là biến cố “người thứ i ghi bàn” với i 1,2,3 .
 IV 0,25
 Ta có các Ai độc lập với nhau và P A1 x, P A2 y, P A3 0,6 .
 (2,0 
 Ta có: A A .A .A P A P A .P A .P A 0,4(1 x)(1 y)
điểm) 1 2 3 1 2 3 
 Nên P(A) 1 P A 1 0,4(1 x)(1 y) 0,976 0,25
 3 47
 Suy ra (1 x)(1 y) xy x y (1).
 50 50
 Tương tự: B A1.A2.A3 , suy ra: 0,25
 14
 P B P A .P A .P A 0,6xy 0,336 hay là xy (2)
 1 2 3 25
 0,5
 DeThiToan.net Tổng hợp 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 Câu Sơ lược lời giải Điểm
 14
 xy 
 25 0,5
 Từ (1) và (2) ta có hệ: 
 3
 x y 
 2
 giải hệ này kết hợp với x y ta tìm được x 0,8 và y 0,7
 Ta có: C A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3
 Nên P(C) (1 x)y.0,6 x(1 y).0,6 xy.0,4 0,452 .
 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Mặt 
 phẳng ( )không đi qua S cắt các cạnh SA,SB,SC,SD lần lượt tại 
 SB SD
 M , N, P,Q sao cho SA 2SM và SC 3SP . Tính .
 SN SQ
 0,25
 S
 N
 M P
 G 0,25
 Q
 E
 A B
 O
 D C
 F 0,25
 V
 Trong mặt phẳng (SAC) gọi G SO  MP 
 (6,0 
 Ba mặt phẳng (SAC),(SBD),( ) đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến 
điểm)
 SO,MP, NQ nên SO,MP, NQ đồng quy tại G
 0,5
 Trong mặt phẳng (SAC) vẽ AE,CF song song với MP (E, F thuộc SO)
 SA SE
 Vì AE PMP nên ta có : . 
 SM SG
 SC SF
 CF PMP nên ta có: 0,25
 SP SG
 Cộng vế với vế hai đẳng thức trên ta được:
 SA SC SE SF SO OE SO OF
 (1)
 SM SP SG SG
 Xét AOE và COF có : OA OC, ·AOE C· OF , E· AO F· CO 
 0,5
 AOE COF OE OF (2) 
 SA SC SO
 Từ (1) và (2) ta có: 2 
 SM SP SG
 DeThiToan.net Tổng hợp 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThiToan.net
Câu Sơ lược lời giải Điểm
 SB SD SO
 Tương tự 2 
 SN SQ SG
 SB SD SA SC
 Suy ra 2 3 5 
 SN SQ SM SP
 2. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C , điểm M nằm trên cạnh AC 
 sao cho AM kMC. Mặt phẳng P đi qua M song song với hai đường 
 thẳng AB và A C . Gọi N là giao điểm của mặt phẳng P và đường 
 NB 5
 thẳng BC .Tìm k để .
 NC 3 0,5
 A M C
 N
 E
 R
 B
 0,5
 I
 A' F C' 0,25
 Q P
 B'
 Giao tuyến của P và ACC A là đường thẳng đi qua M song song với 
 0,25
 A C cắt AA tại R. Cắt AC tại E.
 Giao tuyến của P và ABB A là đường thẳng đi qua R song song với 
 AB cắt A B tại Q. 
 Giao tuyến của P và ACB là đường thẳng đi qua M song song với 0,25
 AB cắt CB tại F. 
 Giao tuyến của P và AC B là đường thẳng đi qua E song song với 
 AB cắt C B tại P. 
 Nối P với F cắt BC tại N. 0,25
 AM
 Nối N với M . Theo bài ta có k . 
 MC
 Gọi I AC  A C. 
 Do MR / / A C nên ta có 
 DeThiToan.net Tổng hợp 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThiToan.net
Câu Sơ lược lời giải Điểm
 AE EI 1 AI AE 1 AI k 1
 k 
 EI AE k AE k AE k
 AE k 2AE k AE k
 AI k 1 AC ' k 1 AC ' 2 k 1 
 Vì EP / / AB nên ta có 
 B'P AE k k k
 B P .B C .BC
 B C AC ' 2 k 1 2 k 1 2 k 1 
 AM B F B P
 Lại có MF / / AB nên k
 MC FC NC
 Vậy
 k
 BC
 2 k 1 BC BN NC NB
 k 2 k 1 2 k 1 2k 1
 NC NC NC NC
 5 1
 Theo bài 2k 1 k .
 3 3
 3. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc.M là 
 một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác ABC . Tìm giá trị nhỏ nhất 
 MA2 MB2 MC 2
 của T .
 OA2 OB2 OC 2
 0,25
 0,25
 Gọi N AM  BC , kẻ MM1 POA (M1 ON)thì ta có 
 OA  (OBC) 0,25
 MM1  (OBC)
 MM1 POA
 Kẻ MA1  OA, A1 OA . Khi đó
 AM 2 AA2 MA2 AA2 MO2 OA2 (AA OA )(AA OA )
 1 1 1 1 1 1 1 1 0,25
 2
 OM OA(OA 2OA1)
 2 2
 OM OA 2OA.OA1
 DeThiToan.net