Tổng hợp 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án)

 Tổng hợp 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 DeThiToan.net Tổng hợp 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 ĐỀ SỐ 1
 PHÒNG GD & ĐT ĐÔ LƯƠNG ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THCS LÝ NHẬT QUANG NĂM HỌC 2024-2025
 Môn: Toán 8
 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (5 điểm)
a) Cho x – y = 46. Tính giá trị biểu thức T = x(x+2) + y(y - 2) - 2xy + 1
 2 2
b) Rút gọn biểu thức P = + : 
 2 2 2 2
c) Theo quy định của công ty A. Nhân viên bán hàng mỗi tháng bán được 50 sản phẩm thì 
hoàn thành chỉ tiêu và được nhận lương 8 triệu đồng. Nếu nhân viên bán nhiều hơn 50 sản 
phẩm thì mỗi sản phẩm vượt chỉ tiêu sẽ được hưởng 10% số tiền lãi của sản phẩm đó. Biết 
mỗi sản phẩm bán ra công ty lãi 1 triệu đồng. Trong tháng 2 công ty trả anh Minh 9,5 triệu 
đồng. Hỏi trong tháng 2 anh Minh bán được bao nhiêu sản phẩm.
Câu 2. (2 điểm) 
Một khách sạn có 50 phòng. Hiện tại giá cho thuê một phòng là 400 nghìn đồng một ngày thì 
toàn bộ phòng được thuê hết. Biết rằng cứ mỗi phòng tăng giá thêm 20 nghìn đồng/ngày thì 
có thêm 2 phòng trống. Hỏi giám đốc phải chọn giá phòng mới là bao nhiêu để thu nhập 
trong một ngày của khách sạn là lớn nhất.
Câu 3. (3 điểm)
a) Tìm số tự nhiên 푛 thỏa mãn 2025푛 +2024 là số chính phương
b) Số nhà của bạn Hòa là một số tự nhiên không chia hết cho 4 và có tính chất số đó cộng với 
tổng các chữ số của nó bằng 2025 . Hỏi số nhà bạn Hòa là bao nhiêu
Câu 4. (7 điểm) Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M ( M khác B và C), tia 
AM cắt đường thẳng CD tại N.
a) Chứng minh rằng: 
 + = 1
b) Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng 
minh tam giác EOM vuông cân và ME song song với BN
c) Trên tia đối của tia BA lấy điểm F sao cho AF = DN. Kẻ FH vuông góc với AN tại H. 
Trên tia đối của tia FH lấy điểm P sao cho FP = AN. Chứng minh ba điểm P ; B; D thẳng 
hàng.
Câu 5. (1,5 điểm)
 Có hai túi I và II mỗi túi chứa 4 tấm thẻ được đánh số 1,2,3,4. Rút ngẫu nhiên mối túi một 
tấm thẻ và nhân hai số ghi trên hai tấm thẻ lại với nhau. Tính xác suất của biến cố
 A : “kết quả là 1 hoặc là một số nguyên tố ”
Câu 6. (1,5 điểm)
 DeThiToan.net Tổng hợp 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThiToan.net
Lớp 8A có 34 học sinh.Các học sinh này đều tham gia một số câu lạc bộ của trường. Mỗi học 
sinh tham gia đúng một câu lạc bộ. Nếu chọn ra 10 học sinh bất kỳ trong lớp thì luôn có ít 
nhất 3 học sinh tham gia cùng một câu lạc bộ. Chứng minh rằng có một câu lạc bộ có ít nhất 
9 học sinh lớp 8A tham gia
 ----------HẾT----------
 DeThiToan.net Tổng hợp 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 ĐÁP ÁN
 Câu Nội dung Điểm
Câu 1. (5 điểm) 
a) Cho x – y = 46. Tính giá trị biểu thức T = x(x+2) + y(y - 2) - 2xy +1
 2 2
b) Rút gọn biểu thức P = + : 
 2 2 2 2
c) Theo quy định của công ty A. Nhân viên bán hàng mỗi tháng bán được 50 sản phẩm thì 
hoàn thành chỉ tiêu và được nhận lương 8 triệu đồng. Nếu nhân viên bán nhiều hơn 50 sản 
phẩm thì mỗi sản phẩm vượt chỉ tiêu sẽ được hưởng 10% số tiền lãi của sản phẩm đó. Biết 
mỗi sản phẩm bán ra công ty lãi 1 triệu đồng. Trong tháng 2 công ty trả anh Minh 9,5 triệu 
đồng. Hỏi trong tháng 2 anh Minh bán được bao nhiêu sản phẩm.
 T = x2 + 2x + y2-2y -2xy + 1= (x – y)2 + 2(x – y) +1 0,75
 a
 = (x-y)(x-y+2) + 1
 1,5 đ
 Thay x – y = 46 vào ta đươc T = 46.48 +1 = 2209 0,75
 2 2 2 2
 2 2 
 Ta có P = + : = + :
 b 2 2 2 2 2 2
 ( ) ( ) 2
 2 đ 2 2 2 2
 = : = 1
1 2 2 2 2
(5,0) Gọi x là số sản phẩm anh Minh bán được trong tháng 2 ( x thuộc N)
 Số sản phẩm anh Minh bán vượt chỉ tiêu là : x -50 sản phẩm
 Số tiền anh Minh được nhận do bán vượt chỉ tiêu là 
 c 0,75
 1000000. 10%. (x – 50 ) = 100 000.(x - 50)
 1,5 đ
 Vì tháng 2 anh Minh nhận 9,5 triệu đồng nên ta có
 100 000.(x - 50) = 1 500 000 suy ra x = 65
 0,75
 Vậy trong tháng 2 anh Minh bán được 65 sản phẩm
Câu 2. (2 điểm) Một khách sạn có 50 phòng. Hiện tại giá cho thuê một phòng là 400 nghìn 
đồng một ngày thì toàn bộ phòng được thuê hết. Biết rằng cứ mỗi phòng tăng giá thêm 20 
nghìn đồng thì có thêm 2 phòng trống.Hỏi giám đốc phải chọn giá phòng mới là bao nhiêu 
để thu nhập trong một ngày của khách sạn là lớn nhất
 Gọi x (nghìn đồng ) là giá phòng khách sạn cần đặt ra , ĐK x > 400 0,25
 Thì giá chênh lệch sau khi tăng là : x – 400 nghìn đồng
 Số phòng cho thuê giảm đi nếu giá x nghìn đồng/ ngày là: 0,25
 ( 400).2 400
 (phòng)
 20 = 10
 2 đ Số phòng cho thuê với giá x nghìn đồng / 1 ngày là:
 400 0,25
 (phòng)
 50 ― 10 = 90 ― 10 
 2
 Tổng doanh thu trong 1 ngày là : f(x) = . 90 ― = ― +90 0,25
 10 10
 DeThiToan.net Tổng hợp 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 2 2 2
 f(x) = 900 = ( 450) 202500 ( 450) + 20250 20250 0,75
 10 10 = ― 10 ≤
 Dấu = có khi x = 450
 0,25
 Vậy nếu cho thuê phòng với giá 450 nghìn đồng/1ngày thì doanh thu 
 trong một ngày lớn nhất đạt 20.250.000 đồng
Câu 3. (3 điểm) a) Tìm số tự nhiên 푛 thỏa mãn 2025푛 +2024 là số chính phương
b) Số nhà của bạn Hòa là một số tự nhiên không chia hết cho 4 và có tính chất số đó cộng với 
tổng các chữ số của nó bằng 2025 . Hỏi số nhà bạn Hòa là bao nhiêu
 Xét n = 0 thì 2025푛 +2024 = 2025 là số chính phương 1,0
 a
 Xét n khác 0 thì 2025푛 +2024 chia 3 dư 2 nên không phải là số 
 2đ
 chính phương 1,0
 Nếu số nhà bạn Hòa có ít hơn 4 chữ số thì số đó cộng tổng các chữ 
 số của nó lớn nhất là 999 + 9 + 9 + 9 = 1026 < 2025
 Nếu số nhà bạn Hòa có nhiều hơn 4 chữ số thì số đó cộng tổng các 
 chữ số của nó lớn hơn 2025 0,25
 Vậy số nhà bạn Hòa là số tự nhiên có 4 chữ số. Gọi số nhà bạn Hòa 
 là abcd ( abcd không chia hết cho 4)
Câu Theo bài ra ta có abcd + a + b + c + d = 2025 Suy ra ab = 19;20 0,25
 3 TH1: ab = 19 suy ra 19cd +1 +9 + c + d = 2025
 b
 Hay 1900 +1+ 9 + 11c + 2d = 2025 suy ra 11c + 2d = 115
 1 đ
 suy ra c = 9; d = 8 khi đó abcd = 1998 thỏa mãn
 TH2: ab = 20 suy ra 20cd + 2 + 0 + c + d = 2025 0,5
 Hay 2000 + 0 + 2 + 11c + 2d = 2025 suy ra 11c + 2d = 23 
 suy ra c = 1; d = 6 khi đó abcd = 2016 không thỏa mãn
 Vậy số nhà bạn Hòa là 1998
Câu 4. (7 điểm) Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M (M khác B và 
C), tia AM cắt đường thẳng CD tại N.
a) Chứng minh rằng 
 + = 1
b) Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM. Gọi O là giao điểm của AC và BD. 
Chứng minh tam giác EOM vuông cân và ME song song với BN
c) Trên tia đối của tia BA lấy điểm F sao cho AF = DN. Kẻ FH vuông góc với AN 
tại H. Trên tia đối của tia FH lấy điểm P sao cho FP = AN. Chứng minh ba điểm P ; 
B; D thẳng hàng.
 DeThiToan.net Tổng hợp 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 a 
 Ta có + = + = = 1 3,0
 3 đ 
 C/m ∆ = ∆ ( ― ― ) 
 Suy ra OE = OM và = 
 Suy ra + = + hay = = 900 1,5
 b Suy ra tam giác EOM vuông cân
 Ta có AB // CN nên mà BE = CM và AB = BC 
 3 đ = 
 nên BM = AE
 1,5
 Lại có MC = BE Suy ra 
 = = 
 Suy ra EM song song với BN
 Qua P kẻ đường thẳng song song với AB nó cắt các đường thẳng AD 
 ; FN lần lượt tại K ; G suy ra các tứ giác AFGK và AFND là hình 
 chữ nhật
 C/m ∆ 푃퐹 = ∆퐹 ( ạ푛ℎ ℎ ề푛 ― ó 푛ℎọ푛) 0,5
 c Suy ra GP = FN = AD
 1 đ Và GF = AF
 GF = AF Mà KGFA là hình chữ nhật nên KGFA là hình vuông suy 0,5
 ra KG = KA kết hợp GP = AD suy ra KP = KD suy ra ∆ KPD vuông 
 cân nên 퐾 푃 = 450 mà 퐾 = 450 Do đó ba điểm P ; D ; B thẳng 
 hàng
Câu 5. (1,5 điểm) Có hai túi I và II mỗi túi chứa 4 tấm thẻ được đánh số 1,2,3,4. Rút ngẫu 
nhiên mối túi một tấm thẻ và nhân hai số ghi trên hai tấm thẻ lại với nhau.Tính xác suất của 
biến cố A : “kết quả là 1 hoặc là một số nguyên tố ”
 Rút ngẫu nhiên mối túi một tấm thẻ và nhân hai số ghi trên hai tấm 
 1,5 đ thẻ lại với nhau thì số cách rút là n(휔)= 4.4= 16 cách
 Tích là 1 hoặc một số nguyên tố có 5 kết quả thuận lợi : (1;1); (1;2); 
 DeThiToan.net Tổng hợp 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 (1;3); (2;1); (3;1)
 5
 Suy ra xác Suất của biến cố A là : 
 16
Câu 6. (1,5 điểm) Lớp 8A có 34 học sinh.Các học sinh này đều tham gia một số câu lạc bộ 
của trường. Mỗi học sinh tham gia đúng một câu lạc bộ. Nếu chọn ra 10 học sinh bất kỳ 
trong lớp thì luôn có ít nhất 3 học sinh tham gia cùng một câu lạc bộ. Chứng minh rằng có 
một câu lạc bộ có ít nhất 9 học sinh lớp 8A tham gia.
 Giả sử tất cả các CLB đều không có quá 8 HS lớp 8A tham gia.
 Gọi N là số CLB mà có nhiều hơn một HS lớp 8A tham gia
 - Nếu N > 4 thì thì từ 5 trong số CLB này ta chọn ra mỗi CLB 2 HS 
 0,75
 khi đó 10 HS này sẽ không thỏa mãn điều kiện bài toán
 - Nếu N < 4 thì tổng số HS lớp 8A tham gia cac CLB này không quá 
 3.8 = 24 HS nghãi là còn ít nhất 34 – 24 = 10 HS lớp 8A mỗi HS 
 5 tham gia một CLB mà mỗi CLB này chỉ có 1 HS. Chọn 10 HS này 
 0,5
(1,0) sẽ không thỏa mãn điều kiện bài toán
 - Nếu N = 4 thì tổng số HS lớp 8A tham gia cac CLB này không quá 
 4.8 = 32 HS nên còn 2 HS lớp 8A mỗi HS tham gia một CLB mà 
 mỗi CLB này chỉ có 1 HS chọn 2 HS này và 4 CLB trên mỗi CLB 
 0,25
 chọn ra 2 HS thì 10 HS này không thỏa mãn điều kiện bài toán
 Vậy giả sử là sai tức là có một câu lạc bộ có ít nhất 9 học sinh lớp 
 8A tham gia.
 DeThiToan.net Tổng hợp 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 ĐỀ SỐ 2
 TRƯỜNG THCS ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG VÒNG 2
 CAO XUÂN HUY NĂM HỌC 2024 – 2025
 Môn: Toán – Lớp 8
 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (4,0 điểm)
a) Cho các số thực a, b thỏa mãn: a2 + b2 + ab – a + b + 1 = 0
Tính giá trị biểu thức: M = 7a3 – 2b4 + 2022.
b) Cho các số nguyên dương a, b, c thoả mãn a2 + b2 = c2. 
Chứng minh rằng ab chia hết cho a + b + c.
Câu 2. (4,0 điểm)
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố (p; q) thỏa mãn p2 – 5q2 = 4. 
b) Giải phương trình: (x2 + x + 2)3 – (x + 1)3 = x6 + 1.
Câu 3. (4,0 điểm)
a) Người ta giăng lưới để nuôi riêng một loại cá trên một góc hồ. Biết rằng lưới được giăng 
theo một đường thẳng từ một vị trí trên bờ ngang đến một vị trí trên bờ dọc và phải đi qua 
một cái cọc đã cắm sẵn ở vị trí A. 
Hỏi diện tích nhỏ nhất có thể giăng khu nuôi cá riêng là bao nhiêu, biết rằng khoảng cách từ 
cọc đến bờ ngang là 5m và khoảng cách từ cọc đến bờ dọc là 12m (hình vẽ bên).
b) Bác Xuân vay 20.000.000 đồng của ngân hàng để làm kinh tế. Trong một năm đầu bác 
chưa trả được nên số tiền lãi trong năm đầu được chuyển thành vốn để tính lãi năm sau. Sau 
2 năm bác Xuân phải trả là 23.540.000 đồng. Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần trăm 
trong một năm đầu? Biết rằng trong năm sau ngân hàng đã giảm 30% lãi suất. 
Câu 4. (7,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. 
a) Chứng minh: AD.HD = BD.CD
b) Chứng minh: H là giao điểm của các đường phân giác của tam giác DEF.
 DeThiToan.net Tổng hợp 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThiToan.net
c) Gọi M là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HM, cắt các đường 
thẳng AB và AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh: HP = HQ.
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho một đa giác đều có 2025 đỉnh. Tô màu các đỉnh của đa giác bằng một trong hai màu 
xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng luôn tồn tại ba đỉnh của đa giác được tô cùng màu và tạo 
thành một tam giác cân.
 ----------HẾT----------
 DeThiToan.net Tổng hợp 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 ĐÁP ÁN
Câu Nội dung Điểm
Câu 1. (4,0 điểm)
a) Cho các số thực a, b thỏa mãn: a 2 b 2 ab a b 1 0 . 
Tính giá trị của biểu thức: M 7a 3 – 2b4 +2022 .
b) Cho các số nguyên dương a, b, c thoả mãn a2 b2 c2 . Chứng minh rằng ab chia hết cho a 
+ b + c.
 Ta có a 2 b2 ab a b 1 0
 2a 2 2b 2 2ab 2a 2b 2 0 0,5
 (a 2 2ab b2 ) (a 2 2a 1) (b2 2b 1) 0
 (a b)2 0 a b
 a 2 2 2 2 a 1
 (a b) (a 1) (b 1) 0 (a 1) 0 a 1 0,5
2,0đ 2 b 1
 (b 1) 0 b 1
 a 1 3 4
 Thay vào M 7a 3 – 2b4 +2022 ta được M 7.1 2( 1) 2022 2027 1,0
 b 1
 Vậy giá trị của biểu thức M = 2027.
 Từ a2 + b2 = c2 (a + b)2 – c2 = 2ab 0,5
 (a + b + c)(a + b – c) = 2ab (*)
 TH1: a + b + c lẻ thì từ (*) suy ra 2ab ⁝ (a + b + c) 0,5
 ab ⁝ (a + b + c) vì (2, a + b + c) = 1
 b 
 TH2: a + b + c chẵn
2,0đ
 Vì a + b + c, a + b – c cùng tính chẵn lẻ nên a + b – c chẵn. 0,5
 Đặt a + b – c = 2k (k N*) 
 Từ (*) suy ra ab = k(a + b + c) ab ⁝ (a + b + c) 0,5
 Vậy ta luôn có ab ⁝ (a + b + c) 
Câu 2. (4,0 điểm)
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố p; q thỏa mãn p2 5q2 4 . 
 3
b) Giải phương trình: x2 x 2 x 1 3 x6 1
 p2 5q2 4 p2 4 5q2 p 2 p 2 5q2 0,5
 Do 0 p 2 p 2 và q nguyên tố nên p 2 chỉ có thể nhận các giá trị 
 a 1, 5, q, q2
 0,5
2,0đ Ta có bảng giá trị tương ứng 
 p – 2 p + 2 p q
 1 5q2 3 1
 DeThiToan.net