Tổng hợp 55 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 12 (Có đáp án)

 Tổng hợp 55 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 12 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 DeThiToan.net Tổng hợp 55 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 12 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 ĐỀ SỐ 1
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP CƠ SỞ
 CỤM THPT HUYỆN LỤC NAM NĂM HỌC 2024 - 2025
 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán - Lớp 12
 (Đề thi có 06 trang) Thời gian: 120 phút
 (Không kể thời gian phát đề)
Họ và tên:. SBD:.. Mã đề: 121
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. 
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 20. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Cho hàm số f x . Hàm số y f ' x có đồ thị như hình vẽ
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số g x f 2x 2 x 6x 2 3x trên nửa khoảng 1; ?
A. Ming x f 1 . B. Ming x f 2 .
 1; 1; 
C. Ming x f 1 3 . D. Ming x f 2 18 .
 1; 1; 
 3 2 khi 0 ≤ < 1 2
Câu 2. Cho hàm số = ( ) = 4 ― khi 1 ≤ ≤ 2. Tích phân f x dx bằng
 0
 3 7 5
A. . B. . C. . D. 1.
 2 2 2
Câu 3. Một đội tình nguyện gồm 9 học sinh khối 10 và 7 học sinh khối 11. Chọn ra ngẫu 
nhiên 3 người trong đội. Xác suất của biến cố “Cả 3 người được chọn cùng một khối” là
 3 1 3 17
A. . B. . C. . D. .
 20 16 16 80
Câu 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 1;20 để hàm số 
 x2 3x m 1
y đồng biến trên khoảng 2;3 ?
 3x m
A. 17 . B. 14. C. 15. D. 13.
 5x 1 x 1
Câu 5. Đồ thị hàm số y có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
 x2 2x
 DeThiToan.net Tổng hợp 55 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 12 (Có đáp án) - DeThiToan.net
A. 3. B. 0 . C. 1. D. 2.
 1
Câu 6. Họ các nguyên hàm của hàm số f x 2x 1 là
 2x
 2x 1 1
A. ln 2x C . B. 2x ln x C .
 ln 2 2
 2x 1 1 1
C. ln x C . D. 2x 1 ln x C .
 ln 2 2 2
Câu 7. Một nhà kho được minh hoạ như hình bên, trong không gian Oxyz (đơn vị trên mỗi 
trục là mét), Biết nhà kho có chiều cao bằng 9m , hai mái EFIK, HGIK là hai hình chữ nhật có 
kích thước bằng nhau, các bức tường tạo thành hình hộp chữ nhật 
ABCD.EFGH, AB 10m, AD 24m, AE 7m. Khi đó côsin của góc dốc mái nhà (góc I·FG ) bằng
 6
A. 6 . B. . C. 6 . D. 6 .
 38 7 39 37
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình hình thoi tâm O cạnh a 2 và B· AD 60 . 
Tính góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng ABCD biết SA vuông góc với mặt phẳng đáy 
 3a 2
và SA .
 2
A. 30. B. 45 . C. 90. D. 60 .
Câu 9. Trong không gian Oxyz , cho hai véctơ a 3; 2;1 và b 2;1; 1 . Biết rằng 
u ma 3b và v 3a mb m ¡ . Giá trị của m để hai véctơ u và v vuông góc là
 m 1 m 1 m 1 m 1
A. . B. . C. . D. .
 m 9 m 9 m 9 m 9
 x 4 khi x 0
Câu 10. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 4 khi 0 x 1 và 
 2
 x 4x khi x 1
trục hoành.
 41 25
A. 17. B. 24. C. . D. .
 2 2
 DeThiToan.net Tổng hợp 55 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 12 (Có đáp án) - DeThiToan.net
Câu 11. Cho tập hợp S = {1; 2; 3; ;100} gồm 100 số nguyên dương đầu tiên. Chọn ngẫu 
nhiên 4 số trong S, tính xác suất để 4 số chọn được có thể tạo thành cấp số nhân có công bội 
nguyên dương.
 18 17 17 16
A. 4 . B. 4 . C. 4 . D. 4 .
 C100 C100 A100 C100
Câu 12. Bác Hải gửi 300 triệu vào ngân hàng với hình thức lãi kép, kỳ hạn 1 năm với lãi 
suất 5%/năm. Số tiền lãi bác Hải nhận được sau 10 năm gửi gần nhất với giá trị nào dưới 
đây?
A. 213,10 triệu. B. 150 triệu. C. 165,40 triệu. D. 188,67 triệu.
Câu 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 1, biết khoảng cách từ A 
 6 15 30
đến SBC là , từ B đến SCA là , từ C đến SAB là và hình chiếu vuông 
 4 10 20
góc của S xuống đáy nằm trong tam giác ABC . Tính thể tích khối chóp VS.ABC .
 1 1 1 1
A. . B. . C. . D. .
 36 48 24 12
Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 2;3;1 và B 5; 6; 2 . Đường 
thẳng AB cắt mặt phẳng Oxz tại điểm M. Tính tỉ số .
 1 1 
A. = 3. B. = . C. = . D. = 2.
 3 2 
 x y
Câu 15. Xét các số thực dương x, y thỏa mãn log x x 3 y y 3 xy . Tìm 
 3 x2 y2 xy 2
 3x 2y 1
giá trị lớn nhất của P .
 x y 6
A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.
Câu 16. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên ¡ có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi m , 
M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên đoạn  2;2 . Giá 
trị của m M là
A. m M 5 . B. m M 6 . C. m M 0 . D. m M 1.
 DeThiToan.net Tổng hợp 55 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 12 (Có đáp án) - DeThiToan.net
Câu 17. Một vùng đất hình chữ nhật ABCD có AB = 25km, BC = 20km và M , N lần lượt 
là trung điểm của AD, BC. Một người cưỡi ngựa xuất phát từ A đi đến C bằng cách đi thẳng 
từ A đến một điểm X thuộc đoạn MN rồi lại đi thẳng từ X đến C Vận tốc của ngựa khi đi 
trên phần ABNM là 15km/h, vận tốc của ngựa khi đi trên phần MNCD là 30km/h . Thời gian 
ít nhất để ngựa di chuyển từ A đến C là mấy giờ?
 41 5 4 29 2 5
A. . B. . C. . D. .
 4 3 6 3
Câu 18. Trong không gian Oxyz cho A 1; 1;2 , B 2;0;3 , C 0;1; 2 . Gọi M a;b;c là điểm 
       
thuộc mặt phẳng Oxy sao cho biểu thức S MA.MB 2MB.MC 3MC.MA đạt giá trị nhỏ nhất. 
Khi đó T 36a 12b c có giá trị là
A. T 5 . B. T 5 . C. T 7 . D. T 7 .
Câu 19. Cho hàm số = ( ) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn (0) = 0 và 
 3
f x . 1 e f x 1 ex x ¡ . Tính f x dx
 1
A. 4 . B. e3 5 . C. 8 . D. 2 .
Câu 20. Diện tích 푆 của hình phẳng ( ) giới hạn bởi các đường cong = ― 3 + 12 và 
 = ― 2 bằng
 793 937 343 937
A. . B. . C. . D. .
 4 12 12 4
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), 
b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Cho đồ thị C của hàm số y f x x3 3x 2 có dạng như hình vẽ bên dưới. Gọi 
 H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho và trục hoành.
 x4 3x2
a) F x 2x 2024là một nguyên hàm của hàm số f x .
 4 2
 S2
b) Trục tung chia hình H thành 2 phần có diện tích là S1, S2 S1 S2 Khi đó 5.
 S1
c) Hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y 4 và đồ thị C có diện tích bằng diện tích của 
 H .
 DeThiToan.net Tổng hợp 55 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 12 (Có đáp án) - DeThiToan.net
d) Biết đường thẳng d : y kx 2 cắt C tại 3 điểm phân biệt theo thứ tự lần lượt là 
 625
A, B,C x x x , đồng thời hình phẳng giới hạn bởi d và C bằng . Khi đó độ dài 
 A B C 2
đoạn thẳng AC 12125 .
Câu 2. Cho hàm số f x là hàm số bậc ba có bảng biến thiên như sau:
a) Khoảng cách hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x bằng 26 .
b) Phương trình f (x 1) 1 có 3 nghiệm phân biệt.
 1 
c) Hàm số g x f 1 2x nghịch biến trên khoảng ;0 .
 2 
 x 2
d) Đồ thị hàm số h(x) 2 có tổng số đường tiệm cận bằng 5.
 f x 4 
Câu 3. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;2;5 và B 3; 1;2 .
a) Tọa độ điểm đối xứng với A qua trục hoành là A 1; 2; 5 .
b) Tổng khoảng cách từ điểm A và B đến mặt phẳng Oxy bằng 7.
c) Gọi P a;b;c thuộc mặt phẳng Oxy sao cho PA PB nhỏ nhất. Giá trị của 7 a b c bằng 
21.
d) Xét hai điểm M và N thay đổi thuộc mặt phẳng Oxy sao cho MN 1. Giá trị nhỏ nhất 
của AM 2 BN 2 bằng 28.
Câu 4. Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢ có đáy ABC là tam giác vuông tại 
A; BC = 2a; A·BC = 30°. Cạnh bên của lăng trụ bằng 2a 3.
a) Hai mặt bên ABB A và ACC A vuông góc với nhau.
b) Số đo của góc nhị diện  A,CC ,B  bằng 60 .
c) Khoảng cách giữa AA và mặt phẳng BCC B bằng 3a .
d) Gọi G là trọng tâm của tam giác ACA', M là trung điểm của BB', N trên cạnh CC' sao 
 7
cho CN 2NC ' . Thể tích của khối chóp G.BCNM bằng a3 .
 9
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Cho hàm số y f x có đồ thị C và bảng biến thiên như hình vẽ.
 DeThiToan.net Tổng hợp 55 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 12 (Có đáp án) - DeThiToan.net
Phương trình f x 1 a với a 1;3 có bao nhiêu nghiệm lớn hơn 1 ?
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;2;3 , B 4;1; 1 . Gọi 
     2
 2 2
M x0 ; y0 ; z0 là điểm thuộc mặt phẳng Oyz sao cho MA MB 2MA.MB MA.MB 26 và 
MA.MB đạt giá trị lớn nhất. Biết y0 0. Giá trị y0 bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng 
phần trăm).
 4x2 3
Câu 3. Tính tổng các nghiệm của phương trình log x6 3x2 2.
 3 x6 x2 1
Câu 4. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ . Hàm số f (x) x3 ax2 bx c có đồ thị như 
hình bên dưới.
Số điểm cực trị của hàm số y f f x bằng bao nhiêu?
Câu 5. Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng 10 
cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết 
AB 5cm , OH 4cm . Tính diện tích ( cm2 ) bề mặt hoa văn đó(kết quả làm tròn đến hàng 
phần chục).
Câu 6. Có 2 bình, mỗi bình đựng 6 viên bi trắng và 5 viên bi đen. Lần lượt lấy ngẫu nhiên ra 
1 viên bi từ bình thứ nhất và 1 viên bi từ bình thứ hai. Xác suất để lấy được viên bi ở bình 
thứ nhất màu trắng và viên bi ở bình thứ hai màu đen bằng bao nhiêu?(Kết quả làm tròn đến 
hàng phần trăm)
 DeThiToan.net Tổng hợp 55 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 12 (Có đáp án) - DeThiToan.net
PHẦN IV. Tự luận
 4 xsin x (x 1)cos x
Câu 1. (2,0 điểm) Tính tích phân sau I dx
 0 xsin x cos x
Câu 2. (3,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình thang cân, 
AD song song với BC, AB BC CD a, AD 2a . Góc giữa hai mặt phẳng A CD và 
 ABCD bằng 450.
a) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng A CD .
b) Gọi P là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với đường thẳng A C . Mặt phẳng P chia 
khối lăng trụ đã cho thành hai khối đa diện. Tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh A.
Câu 3. (1,0 điểm) Một cái ao hình ABCDE (như hình vẽ), ở giữa ao có một mảnh vườn hình 
tròn có bán kính 10m. Người ta muốn bắc một cây cầu từ bờ AB của ao đến vườn. Tính gần 
đúng độ dài tối thiểu l của cây cầu biết : Hai bờ AE và BC nằm trên hai đường thẳng vuông 
góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm O ;Bờ AB là một phần của một parabol 
có đỉnh là điểm A và có trục đối xứng là đường thẳng OA ; Độ dài đoạn OA và OB lần lượt 
là 40 m và 20 m; Tâm I của mảnh vườn lần lượt cách đường thẳng AE và BC lần lượt 40 m 
và 30 m.
 -----------HẾT-----------
 DeThiToan.net Tổng hợp 55 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 12 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 ĐÁP ÁN
PHẦN I: Trắc nghiệm nhiều lựa chọn
- Mỗi câu đúng được 0,25 điểm.
Mã đề 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
 121 C B D C C C D D B C B D B C C B D B A B
PHẦN II: Trắc nghiệm đúng sai
Mã đề Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4
 a)Đ - b)S a)Đ - b)Đ a)Đ - b)Đ a)Đ - b)Đ
 121
 c)Đ - d)S c)S - d)S c)S - d)S c)S - d)Đ
PHẦN III: Trắc nghiệm trả lời ngắn - tự luận
- Mỗi câu đúng được 0,5 điểm.
 Mã đề Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6
 121 1 5,25 0 7 46,7 0,25
PHẦN IV: Tự luận
 Câu Hướng dẫn chấm Thang điểm
 4 xsin x (x 1)cos x 4 (xsin x cos x) x cos x 4 4 x cos x
 a) dx dx 1dx dx 1,0
 0 xsin x cos x 0 xsin x cos x 0 0 xsin x cos x
 Câu 1 4 d(xsin x cos x) 
 x 4 ln xsin x cos x 4 0,5
 xsin x cos x 4
(2,0 điểm) 0 0 0
 2 
 ln 1 0,5
 4 2 4 
 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình 
 thang cân, AD song song BC , AB BC CD a, AD 2a . Góc 
 giữa mặt phẳng A CD và ABCD bằng 450.
 a) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng A CD .
 Câu 2 A' D'
 1,5
(3,0 điểm) G
 C'
 B'
 a I a
 A
 K D
 F H
 a
 E
 a
 B a C
 DeThiToan.net Tổng hợp 55 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 12 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 Từ giả thiết ta có ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn 
 đường kính AD 
 CD  AC 
 Ta có:  CD  A'CA CD  A'C 
 CD  AA'
 A'CD  ABCD CD  0,5
 · ·
 CA  ABCD ,CA  CD  A'CD , ABCD CA',CA 
 CA'  A'CD ,CA'  CD
 Từ giả thiết suy ra ·A'CA 450 
 Gọi I là trung điểm AD , E là giao của AC và BI . 
 BE / / A CD d B, A CD d E, A CD .
2a) Dựng EF vuông góc A C, F A C . 
 0,5
 Ta có 
 EF  A C
 EF  A CD EF d E, A CD .
 EF  CD do CD  AA C 
 Ta có ABCI là hình thoi, ·ABC 1200 AC a 3 0,25
 Tam giác EFC vuông tại F có 
 1
 AC
 CE a 3 a 6
 E· CF 450 EF 2 
 2 2 2 2 4 0,25
 a 6
 d B, A'CD .
 4
 Gọi P là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với đường thẳng 
 A C . Mặt phẳng P chia khối lăng trụ đã cho thành hai khối đa 1,5
 diện. Tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh A .
 EF  A C
 Ta có BIF  A C BIF  P . 0,25
 BI  A C do BI / /CD 
 Trong mặt phẳng ACC A , EF CC ' H
2b) H P  CDC ' D ' 
 BI  P ,CD  CDC ' D ' P  CDC ' D ' HG / /BI,G DD '
 BI / /CD
 P  ADD ' A' IG  0,5
 P  BCC ' B ' BH  IG / /BH
 ADD ' A' / / BCC ' B ' 
 Vậy thiết diện của P và hình lăng trụ ABCD.A B D C là hình 
 DeThiToan.net