Tổng hợp 58 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án)

 Tổng hợp 58 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 DeThiToan.net Tổng hợp 58 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 ĐỀ SỐ 1
 UBND TỈNH HÀ NAM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10, 11 THPT
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VÀ LỚP 12 GDTX CẤP TỈNH 
 NĂM HỌC 2024 - 2025
 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán 10
 (Đề thi gồm 02 trang) Thời gian làm bài: 180 phút
 Câu I. (4,0 điểm)
 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2 – 2x, đường thẳng (d): y = mx + 2m 
 + 8 và điểm I (0;4). Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai 
 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác IAB cân tại I.
 2. Một cái cổng hình parabol như hình vẽ. Chiều cao GH = 4m, chiều rộng AB = 4m, AC = 
 BD = 0,9m. Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật CDEF tô đậm giá là 
 1200000 đồng/m2, còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là 900000 đồng/m2. Biết diện 
 32
 tích của cái cổng là m2. Hỏi tổng chi phí để làm hai phần nói trên là bao nhiêu đồng (kết 
 3
 quả làm tròn đến hàng nghìn).
 Câu II. (4,0 điểm)
 5x 7
 1. Giải phương trình: x 3 x2 x 2 .
 x2 2x 3
 2
 2. Cho bất phương trình x2 2x m 2x2 5x 2 m 0 . Tìm tất cả các giá trị của tham 
 số m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x  1;0 .
 Câu III. (2,0 điểm)
 Một phân xưởng may áo vest và quần âu để chuẩn bị bán cho dịp cuối năm. Biết may một cái 
 áo vest hết 2m vải và cần 20giờ; 1 chiếc quần âu hết 1,5m vải và cần 5 giờ. Phân xưởng 
 được giao sử dụng không quá 900m vải và số giờ công không vượt quá 6000 giờ. Theo khảo 
 sát thị trường, số lượng quần âu bán ra không nhỏ hơn số lượng áo vest và không vượt quá 2 
 lần số lượng áo vest. Khi bán ra thị trường, một cái áo vest lãi 250 nghìn đồng và một chiếc 
 quần âu lãi 100 nghìn đồng. Hỏi phân xưởng muốn thu được tiền lãi cao nhất thì cần may 
 bao nhiêu cái áo vest và bao nhiêu chiếc quần âu?
 DeThiToan.net Tổng hợp 58 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThiToan.net
Câu IV. (4,0 điểm)
 n
1. Tìm số hạng chứa x6 trong khai triển của 1 2x x2 2x3 , biết rằng n là số tự nhiên thỏa 
 2 3
mãn 3An 2 Cn 86 . 
2. Cho đa giác đều 30 đỉnh. Lấy 4 đỉnh trong các đỉnh của đa giác ta được một hình tứ giác. 
Hỏi có bao nhiêu tứ giác có đỉnh là đỉnh của đa giác đều trên sao cho 2 góc ở 2 đỉnh kề, 
chung một cạnh của tứ giác là 2 góc tù?
Câu V. (4,0 điểm)
1. Cho hình thang ABCD có đáy AB và CD; CD = 3AB. Gọi M, N lần lượt là các điểm 
thuộc các cạnh AD và BC sao cho AM = 3MD; CN = 2NB. Gọi P là giao điểm của AC và 
 PQ
MN, Q là giao điểm của BD và MN. Tính .
 MN
2. Bác Nam có một mảnh đất hình tứ giác ABCD (như hình vẽ) với AB = 8,2m; 
BC = 14,5 m; CD = 9,7m; AD = 16,4m. Để tính diện tích mảnh đất, cháu của bác Nam lấy 
hai điểm M, N nằm trên hai cạnh AB, AD sao cho AM = 1m; AN = 1m, sau đó bác Nam 
dùng thước dây đo được MN = 1,6m. Em hãy tính diện tích mảnh đất (đơn vị m2 và làm tròn 
kết quả đến hàng đơn vị).
 M
 A 1m B
 8,2m
 1m 1,6m
 N
 14,5m
 16,4m
 9,7m C
D
Câu VI. (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm 
của đoạn thẳngAB và N là điểm thuộc đoạn thẳng AC sao cho AN = 3NC. Viết phương trình 
đường thẳng CD, biết M(1;2), N(2; -1).
 ----------HẾT----------
 DeThiToan.net Tổng hợp 58 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 ĐÁP ÁN
 Câu Sơ lược lời giải Điểm
 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2 – 2x, đường 
 thẳng (d): y = mx + 2m + 8 và điểm I (0;4). Tìm tất cả các giá trị của m 
 2,0
 để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 
 tam giác IAB cân tại I.
 Phương trình hoành độ giao điểm của parabol P và đường thẳng 
 d là: x2 2x mx 2m 8
 x2 (m 2)x 2m 8 0 (1)
 Để đường thẳng d cắt parabol P tại hai điểm phân biệt A, B 0,5
 phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 
 m 2 2 4(2m 8) m 6 2 0 m 6
 x1 x2 m 2
 Theo Vi-ét, ta có và 
 x1x2 2m 8
 A x1;mx1 2m 8 ;B x2 ;mx2 2m 8 0,5
 Tam giác IAB cân tại I khi và chỉ khi I, A, B không thẳng hàng và 
 2 2
 Câu I IA = IB .
(4,0 điểm) +) I, A, B không thẳng hàng I d 2m 8 4 m 2
 +) IA2 = IB2
 2 2 2 2 0,5
 x1 (y1 4) x2 (y2 4)
 2 2 2 2
 x1 (mx1 2m 4) x2 (mx2 2m 4)
 2 2 
 (x1 x2 ) (1 m )(x1 x2 ) 4m 8m 0
 x1 x2 ktm 
 2 2 0,25
 (1 m )(x1 x2 ) 4m 8m 0
 2 2
 (1 m )(x1 x2 ) 4m 8m 0
 m3 6m2 9m 2 0
 m 2 3 0,25
 m 2 3
 m 2
 Đối chiếu với điều kiện ta tìm được m 2 3 , m 2 3 .
 2. Một cái cổng hình parabol như hình vẽ. Chiều cao GH = 4m, chiều 
 2,0
 rộng AB = 4m, AC = BD = 0,9m. Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng 
 DeThiToan.net Tổng hợp 58 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThiToan.net
Câu Sơ lược lời giải Điểm
 lại là hình chữ nhật CDEF tô đậm giá là 1200000 đồng/m2, còn các phần 
 để trắng làm xiên hoa có giá là 900000 đồng/m2. Biết diện tích của cái 
 32
 cổng là m2. Hỏi tổng chi phí để làm hai phần nói trên là bao nhiêu 
 3
 đồng (kết quả làm tròn đến hàng nghìn).
 + Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho AB trùng Ox , A trùng O khi đó 
 parabol có đỉnh G 2;4 và đi qua gốc tọa độ.
 0,5
 2
 Gọi phương trình của parabol là y ax bx c 0,5
 Parabol (P): y ax2 bx c đi qua điểm A 0;0 và có đỉnh G 2;4 nên 
 ta có:
 c 0
 a 1
 b 
 2 b 4 .
 2a 
 2 c 0 0,5
 2 a 2b c 4
 P : y f x x2 4x
 Vậy chiều cao CF DE f 0,9 2,79 m , CD 4 2.0,9 2,2 m 
 2
 Diện tích hai cánh cổng là SCDEF CD.CF 6,138 m 
 32 6793 2 0,5
 Diện tích phần xiên hoa là Sxh S SCDEF 6,138 m .
 3 1500
 Nên tiền là hai cánh cổng là 6,138.1200000 7365600 ( đồng) và tiền 
 DeThiToan.net Tổng hợp 58 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 Câu Sơ lược lời giải Điểm
 6793
 làm phần xiên hoa là .900000 4075800 ( đ)
 1500
 Vậy tổng chi phí là 7365600 4075800 11441400 đồng 11441 (nghìn 
 đồng).
 5x 7
 1. Giải phương trình: x 3 x2 x 2 2,0
 x2 2x 3
 Tập xác định: D ¡ 
 5x 7
 Phương trình tương đương: x 3 x2 x 2 0
 x2 2x 3
 +) Nếu x 3 x2 x 2 0 x2 x 2 x 3 0,5
 x 3
 x 3 
 2 2 7 vn 
 x x 2 x 6x 9 5x 7 0 x 
 5
 0,5
 +) Nếu x 3 x2 x 2 0
 1 1 
 Phương trình 5x 7 0
 2 2 
 (x 3) x x 2 x 2x 3 
 7
 5x 7 0 x 
 5 0,5
 Câu II 
 1 1 
(4,0 điểm) 0 1 
 2 2 
 (x 3) x x 2 x 2x 3 
 Giải 1 : 
 1 1 0,25
 2
 (x 3) x2 x 2 x 2x 3 . 
 x2 x x2 x 2 0
 Đặt t x2 x 2 0. 
 2 t 2
 Phương trình trở thành: t t 2 0 
 t 1(L)
 2 x 1 0,25
 t 2 x x 2 0 
 x 2
 7
 Vậy Phương trình có 3 nghiệm: x ; x 1; x 2
 5
 2
 2. Cho bất phương trình x2 2x m 2x2 5x 2 m 0 . Tìm các giá 2,0
 DeThiToan.net Tổng hợp 58 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 Câu Sơ lược lời giải Điểm
 trị của tham số m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x  1;0 .
 2
 Xét phương trình f x x2 2x m 2x2 5x 2 m 0
 2 0,25
 x2 2x m 2 x2 2x m m 2 x
 x2 2x m t
 t x2 2x m
 Đặt , ta có hệ: 2
 t 2t m x 2
 x t 2 0
 Từ hệ phương trình có: (x t 2)(x t 1) 0 0,5
 x t 1 0
 2
 t x 2 x2 2x m x 2 m x x 2
 Hay có: 
 2 2
 t x 1 x 2x m x 1 m x 3x 1
 Nhận xét với x  1;0 , lập BBT của hai hàm g x x2 x 2 và hàm 
 9 0,5
 y x2 3x 1 ta có x2 x 2 2 và 1 x2 3x 1 1 
 4
 x2 x 2 2 1 x2 3x 1,x  1;0 
 Do đó f x 0 x2 x 2 m x2 3x 1 
 0,25
 Bất phương trình nghiệm đúng với mọi 
 m x2 3x 1
 x 1;0 ,x 1;0 
   2  
 m x x 2
 m Min x2 3x 1 
  1;0 m 1
 2 m 1 0,5
 2 
 m Max x x 2 m 2
  1;0
 Một phân xưởng may áo vest và quần âu để chuẩn bị bán cho dịp cuối 
 năm. Biết may một cái áo vest hết 2m vải và cần 20giờ; 1 chiếc quần âu 
 hết 1,5m vải và cần 5 giờ. Phân xưởng được giao sử dụng không quá 
 900m vải và số giờ công không vượt quá 6000 giờ. Theo khảo sát thị 
 trường, số lượng quần âu bán ra không nhỏ hơn số lượng áo vest và 2,0
 Câu III không vượt quá 2 lần số lượng áo vest. Khi bán ra thị trường, một cái áo 
(2,0 điểm) vest lãi 250 nghìn đồng và một chiếc quần âu lãi 100 nghìn đồng. Hỏi 
 phân xưởng muốn thu được tiền lãi cao nhất thì cần may bao nhiêu cái 
 áo vest và bao nhiêu chiếc quần âu?
 Gọi x, y lần lượt là số áo vest và số quần âu mà phân xưởng may x 0; 
 y 0 x, y ¢ . số tiền lãi trong một ngày của phân xưởng khi sản xuất 0,25
 x chiếc áo vest và y chiếc quần âu là: F x; y 250x 100y (nghìn 
 DeThiToan.net Tổng hợp 58 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThiToan.net
Câu Sơ lược lời giải Điểm
 đồng)
 Một chiếc áo cần 2m; một chiếc quần cần 1,5m; và số vải cần dùng 
 không vượt quá 900m nên ta có: 2x y 900 .
 Một chiếc áo vest cần 20 giờ, một chiếc quần âu cần 5 giờ, tổng số giờ 
 0,25
 không vượt quá 6000 ( giờ) nên ta có 20x 5y 6000
 Số lượng quần bán ra không nhỏ hơn số lượng áo và không vượt quá 2 
 lần số lượng áo nên ta có : x y 2x .
 Yêu cầu bài toán thỏa mãn hệ phương trình: 
 x 0 x 0
 y 0 y 0
 0,25
 2x 1,5y 900 4x 3y 1800 
 20x 5y 6000 4x y 1200
 x y 2x x y 2x
 x 0 trucOy 
 y 0 trucOx 
 4x 3y 1800 0,25
 Trong mặt phẳng Oxy , vẽ các đường thẳng 
 4x y 1200
 y x
 y 2x
 0,5
 0,25
 Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác OABC ( bao gồm cả các cạnh)
 O 0;0 ; A 180;360 ; B 225;300 ;C 240;240 
 Tại O 0;0 , F 0 (nghìn đồng)
 Tại A 180;360 , F 81000 (nghìn đồng)
 Tại B 225;300 , F 86250 (nghìn đồng)
 0,25
 Tại C 240;240 , F 84000 (nghìn đồng)
 Ta có F đạt giá trị lớn nhất khi x = 225; y = 300.
 Vậy để phân xưởng thu được tiền lãi cao nhất thì phân xưởng cần may 
 DeThiToan.net Tổng hợp 58 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 Câu Sơ lược lời giải Điểm
 225 áo vest và 300 quần âu
 n
 1. Tìm số hạng chứa x6 trong khai triển của 1 2x x2 2x3 , biết rằng 
 2,0
 2 3
 n là số tự nhiên thỏa mãn 3An 2 Cn 86 .
 2 3
 Ta có 3An 2 Cn 86 . Điều kiện n 3,n ¥ 
 n n 1 n 2 
 3 n 1 n 2 86 0,5
 6
 n3 21n2 52n 480 0 n 4 n2 17n 120 0 
 n 4 tm 0,5
 17 769
 n l 
 2
 17 769
 n l 
 2 0,5
 Với n 4 ta có
 4 4
 1 2x x2 2x3 1 x2 1 2x 4
 1 4x2 6x4 4x6 x8 1 8x 24x2 32x3 16x4 
 Câu IV 0,5
(4,0 điểm) Vậy hệ số của x6 trong khai triển trên là 4.16 4 6.24 x6 76x6 
 2. Cho đa giác đều 30 đỉnh. Lấy ngẫu nhiên 4 đỉnh trong các đỉnh của đa 
 giác ta được một hình tứ giác. Hỏi có bao nhiêu tứ giác có đỉnh là đỉnh 
 2,0
 của đa giác đều trên sao cho 2 góc ở 2 đỉnh kề, chung một cạnh của tứ 
 giác là 2 góc tù?
 B 0,5
 A
 O
 D C
 0,5
 Giả sử đa giác đều 30 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O. Đa giác có 15 
 đường chéo qua tâm.
 Nhận xét: Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp luôn bằng 1800, vì vậy 
 số tứ giác có 2 góc ở 2 đỉnh kề chung một cạnh của tứ giác là 2 góc tù 0,5
 bằng số tứ giác không có góc vuông. 
 DeThiToan.net Tổng hợp 58 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 10 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 Câu Sơ lược lời giải Điểm
 4
 Số tứ giác bất kì được tạo ra là C30 
 Ta tính số tứ giác có góc vuông:
 TH1: Tứ giác có 4 góc vuông (hình chữ nhật).
 2
 Cứ hai đường chéo qua tâm tạo nên một hình chữ nhật nên có C15 105 
 hình chữ nhật
 TH2: Tứ giác có 2 góc vuông (AC là đường kính; BD không là đường 
 0,5
 kính và B, D nằm khác phía so với đường kính AC).
 +) Chọn đường kính AC có 15 cách.
 +) Chọn B thuộc nửa đường tròn đường kính AC có 14 cách
 +) Chọn B để BD không phải là đường kính và B, D khác phía so với 
 đường kính AC có 13
 Do đó có 15.14.13 = 2730 tứ giác.
 Suy ra số tứ giác có góc vuông là: 105 + 2730 = 2835 tứ giácVậy số tứ 
 4
 giác thỏa mãn là: C30 2853 24570 
 1. Cho hình thang ABCD có đáy AB và CD; CD = 3AB. Gọi M, N lần 
 lượt là các điểm thuộc các cạnh AD và BC sao cho AM = 3MD; CN = 
 2NB. Gọi P là giao điểm của AC và MN, Q là giao điểm của BD và 2,0
 PQ
 MN. Tính .
 MN
 E 0,5
 A B
 N
 P
 Câu V
 Q
(4,0 điểm) M
 0,25
 D C
 AB AE BE 1 1 2
 Gọi E AD  BC . Ta có , EA AD AM 
 CD DE CE 3 2 3
 1 4
 AM 3MD , CN 2NB DM DE,CN CE 
 6 9
  5  5   5  5  
 Do đó EM EA ED và EN EC EB 
 2 6 9 3
   0,5
    EM xEN
 Giả sử PM xPN . Ta có EP .
 1 x
 DeThiToan.net