Tổng hợp 58 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án)

 Tổng hợp 58 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 DeThiToan.net Tổng hợp 58 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 ĐỀ SỐ 1
 PHÒNG GDĐT HUYỆN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
 BA VÌ Năm học: 2024 - 2025
 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán 9
 (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài I: (4 điểm)
 2 1 3
Cho biểu thức: 2 với x ≠ - 1; x ≠ - 3
 = 3 1 + 2 1 ― 2 4 3
1) Rút gọn M
 1
2) Tìm số nguyên dương x để đạt giá trị nguyên.
 M
Bài II: (4 điểm)
Câu 1. Gia đình bác Minh thực hiện nhiều biện pháp tiết kiệm điện nên trong tháng 3, gia 
đình bác chỉ dùng hết 95 kWh và phải trả 161 930 đồng. Biết mức 1 sử dụng điện từ 0-50 
kWh đầu tiên, mức 2 sử dụng điện từ 51-100 kWh và giá 1 kWh ở mức 2 nhiều hơn giá 1 
kWh ở mức 1 là 56 đồng. Tính giá tiền 1 kWh điện sinh hoạt ở mức 1 và mức 2.
Câu 2. Giải các phương trình
 1 1
a) + = b) (x – 24)3 + (x – 25)3 = (2x – 49)3
 1 2 
Bài III: (3 điểm) 
Câu 1. 
Biểu đồ hình bên biểu diễn số giờ nắng của các tháng trong năm 2022 của thành phố Huế.
Tính số giờ nắng trung bình của các tháng trong năm 2022 của thành phố Huế.
Câu 2. Trong hộp có chứa 2024 viên bi màu (mỗi viên bi chỉ có đúng 1 màu) trong đó có 800 
viên bi màu đỏ, 700 viên bi màu xanh, 507 viên bi màu tím và 17 viên bi còn lại là các viên bi 
màu vàng hoặc màu trắng (mỗi màu có ít nhất 1 viên). 
a) Lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Tính xác suất để lấy được viên bi màu đỏ.
b) Người ta lấy ra từ hộp 123 viên bi bất kì. Chứng minh rằng trong số các viên bi vừa lấy ra 
có ít nhất 36 viên bi cùng màu.
Bài IV: (6 điểm) 
Câu 1. Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với AC (H thuộc AC). Gọi M là trung 
điểm của AH, K trung điểm của CD, N là trung điểm của BH. 
a) Chứng minh tứ giác MNCK là hình bình hành
 DeThiToan.net Tổng hợp 58 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThiToan.net
b) Tính số đo góc BMK.
c) Chứng minh rằng tồn tại điểm I sao cho khoảng cách từ điểm I đến các điểm B, M, K, C là 
bằng nhau.
Câu 2. Một mảnh vườn hình thang, đáy nhỏ có độ dài 4m và đáy lớn có độ dài 12m, hai góc 
kề đáy lớn lần lượt bằng 60o và 30o. Tính diện tích của mảnh vườn.
Bài V: (3 điểm)
Câu 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x2 + y2 – 2xy + 10x + 15 = 0
Câu 2. Cho n là số nguyên dương có chữ số tận cùng bằng 3. Chứng minh rằng có một số 
nguyên dương m chia hết cho n sao cho trong biểu diễn thập phân của số m chỉ xuất hiện chữ 
số 1.
 ------------HẾT------------
 DeThiToan.net Tổng hợp 58 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 ĐÁP ÁN
Câu Nội dung Điểm
Bài I: 3đ
 1. Rút gọn được = 2 1 
(4 điểm) 1 2 1 1
 2. Biểu diễn được = = ― 1 + 0,5
 0,5
 Tìm được x = 1 (Thỏa mãn điều kiện)
 Câu 1. Gọi giá tiền 1 kWh điện sinh hoạt ở mức 1 và mức 2 lần lượt là: 
 x, y (x > 0, y > 0; đơn vị: đồng)
 50x 45y 161930 1 đ
Bài II: Lập được hệ phương trình 
 y x 56
(4 điểm)
 Giải hệ phương trình trên có x = 1678 và y = 1734 (thỏa mãn điều 
 kiện). 1 đ
 Vậy giá tiền 1 kWh điện sinh hoạt ở mức 1 và mức 2 lần lượt là 1678 
 đồng và 1734 đồng.
 Câu 2. 
 a) Tìm đúng điều kiện ≠ 1; ≠ 0 0,25 đ
 Tìm được = ―1; = 2 0,5 đ
 So sánh với điều kiện và kết luận 0,25 đ
 b) Đặt x - 24 = a và x - 25 = b.
 Ta có a3 + b3 = (a + b)3 hay 3ab( a+ b) = 0 (*). 0,5 đ
 Từ (*) ta có a = 0 ; b = 0 hoặc a = -b
 49
 Tìm được nghiệm x = 24; x = 25 và x = 0,5 đ
 2
 Câu 1. Tổng số giờ nắng của12 tháng trong năm 2022 ở thành phố Huế 
 là:
Bài III:
 65,4 + 199,4 + 175,8 + 224,8 + 284,9 + 259,1 + 251,7 + 263,3 + 176, 5 
(3 điểm)
 + 89,8 + 79,9 + 25,8 = 2096,4.
 Số giờ nắng trung bình của các tháng trong năm 2022 của thành phố 
 Huế là: 2096, 4 : 12 = 174,7 giờ. 1,0
 Câu 2.
 800 100
 a) Xác suất của biến cố lấy được viên bi màu đỏ là: 1,0
 2024 = 253
 b) Khi lấy 123 viên bi bất kì ta có thể lấy ít nhất 123 – 17 =106 viên bi 
 gồm 3 màu: đỏ, xanh, tím. 
 Ta có 106:3 = 35 dư 1
 Vậy trong số các viên bi vừa lấy ra có ít nhất 35+1= 36 viên bi cùng màu.
 1,0
 Câu 1
 DeThiToan.net Tổng hợp 58 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 0,25
Bài IV:
(6 điểm) 1
 a) Có MN//AB và MN = AB. Lại có AB // KC suy ra MN // KC (1)
 2 0,75
 1
 Mặt khác, MN = KC = AB (2). 
 2
 Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MNCK là hình bình hành. 0,5
 b) Vì tứ giác MNCK là hình bình hành. 
 Do đó MN vuông góc với BC. Suy ra N là trực tâm tam giác BNC (do 
 BH AC và MN  BC) . 0,5
 Từ đó ta có CN  MB. Mặt khác CN // MK, suy ra KM  MB.
 Vậy số đo góc BMK bằng 90o. 1,0
 c)
 Gọi I là trung điểm của BK. Theo tính chất đường trung tuyến ứng với 1,0
 cạnh huyền của tam giác vuông ta có: 
 퐾
 MI = CI = IB = IK = 
 2
 Vậy khoảng cách từ I đến các điểm B,M,K,C bằng nhau.
 Câu 2.
 Mô hình hóa được bài toán qua hình vẽ
 0,5
 Gọi O là giao điểm của DA và CB
 Ta có ODC vuông tại O
 1
 Ta có mà OC = DC.sin30o; OD = CD.sin60o 0,5
 푆 = 2 . 
 2
 Nên 푆 = 3 = 18 3 (m2)
 8 0,5
 2
 Tương tự 3 3 (m2)
 푆 = 8 = 2
 2 0,5
 Suy ra 푆 = 16 3 (m )
 Kết luận:
 DeThiToan.net Tổng hợp 58 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 Câu 1)
 - Biến đổi được phương trình về dạng (x + 5)2 + (x ― y)2 = 10 1,0
 - Từ đó suy ra các trường hợp
 Bài V:
 x + 5 1 1 -1 -1 3 -3 3 -3
(3 điểm)
 x ― y 3 -3 3 -3 1 1 -1 -1 0,75
 x -4 -4 -6 -6 -2 -8 -2 -8
 y -7 -1 -9 -3 -3 -9 -1 -7
 Kết luận: .... 0,25
 Câu 2)
 Xét n + 1 số: 1 = 1; 2 = 11; 3 = 111; 푛 = 111 gồm n chữ 
 số 1).
 +) Nếu có một số trong n số trên mà chia hết cho n thì ta có ĐPCM.
 +) Giả sử không có số nào trong n số trên là chia hết cho n. 1,0
 Khi đó tồn tại hai số , 푞(1 ≤ < 푞 ≤ 푛) có cùng số dư khi chia 
 cho n.
 Suy ra: 푞 ― = 푞― .10 chia hết cho n.
 Do ƯCLN(n, 10) = 1 nên 푞― chia hết cho n. Ta có ĐPCM.
 DeThiToan.net Tổng hợp 58 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 ĐỀ SỐ 2
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
 TỈNH BÀ RỊA-VŨNG TÀU NĂM HỌC 2024 – 2025
 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN
 (Đề thi có 01 trang) Thời gian làm bài thi: 150 phút
Câu 1 (3,0 điểm):
 x 10 x 3 x x 2 x 1
a) Rút gọn biểu thức P với x 0 và x 4 .
 x 4 x x 6 x 3 x 2
b) Tính giá trị của biểu thức Q 13 4 10 3 17 2 11 5 .
Câu 2 (4,0 điểm):
a) Giải phương trình 4x2 13x 10 2 x2 x 1 9x 6
b) Cho phương trình x2 2 m 1 x m2 4 0 (1). 
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 
 2 2
x1 2 m 1 x2 3m 16 0.
Câu 3 (4,0 điểm):
 2 p 2 x2 3
a) Tìm tất cả số nguyên tố p và cặp số tự nhiên x; y sao cho .
 p 2y2 3x 5
b) Cho hai hộp kín, hộp thứ nhất chứa 8 cái thẻ được đánh số từ 1 đến 8, hộp thứ hai chứa 
12 cái thẻ được đánh số từ 1 đến 12. Các thẻ có kích thước như nhau. Chọn ngẫu nhiên từ 
mỗi hộp một thẻ. Tính xác suất chọn được hai thẻ mà tích của hai số trên thẻ là một số chia 
hết cho 7.
Câu 4 (5,0 điểm): Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC, đường tròn (O) đường kính BC cắt 
AB tại F, cắt AC tại E. Gọi K là giao điểm của EF và BC, gọi H là giao điểm của BE và CF, 
đường thẳng AH cắt BC tại D, đường thẳng FD cắt đường tròn (O) tại M (M # F).
a) Chứng minh ABDE là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh BC là đường phân giác của E· BM và KF.DM = KM.DF.
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt AK tại P (P ≠ A), cắt ED tại Q (Q ≠ E). Chứng minh ba 
điểm P, Q, C thẳng hàng.
Câu 5 (4,0 điểm):
a) Xét các số thực x, y, z thỏa mãn x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ - 2 và 2x + 2y + 2z + 1 = 0. Tìm giá trị 
lớn nhất của biểu thức T = x + 10xy + 4xyz.
b) Cho tập hợp x = {1; 2; 3;; 2025}. Tìm số tự nhiên k nhỏ nhất sao cho với mọi cách lấy 
k phần tử bất kỳ thuộc x thì luôn tồn tại hai phần tử a, b (a > b) trong k phần tử được lấy mà 
a + b chia hết cho a - b.
 ------------HẾT------------
 DeThiToan.net Tổng hợp 58 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 ĐÁP ÁN
Câu Nội dung Điểm
 x 10 x 3 x x 2 x 1
 1.a Rút gọn biểu thức P với x 0 và x 4 . 1,5
 x 4 x x 6 x 3 x 2
 2
 x 10 x x 3 x 1 
 0,5
 x 2 x 2 x 2 x 3 x 2 x 1 
 x 10 x x 1
 x x 
 x 2 x 2 2 2 0,5
 x 10 x x 2 x 1 x 2 
 x 2 x 2 
 4 x 8 4
 0,5
 x 2 x 2 x 2
 1.b Tính giá trị của biểu thức Q 13 4 10 3 17 2 11 5 . 1,5
 2 0,75
 13 4 10 5 4 10 8 5 2 2 5 2 2
 3
 3 17 2 11 5 3 2 2 6 5 15 2 5 5 3 2 5 2 5 0,5
 3
 Q 13 4 10 17 2 11 5 2 0,25
 2.a Giải phương trình 4x2 13x 10 2 x2 x 1 9x 6 2,0
 u 4x2 13x 10
 Đặt điều kiện u,v 0
 2 0,25
 v x x 1
 2 2
 Tính được u 4v 9x 6 0,25
 u 2v
 Đưa PT về dạng u 2v u2 4v2 u 2v u 2v 1 0 
 u 2v 1
 0,5
 2
 Giải PT u 2v tìm được nghiệm x 
 3
 0,5
 Giải PT u 2v 1 4x2 13x 10 2 x2 x 1 1 (1)
 2
 2 1 3 0,5
 Chứng minh 2 x x 1 2 x 3 suy ra PT (1) vô nghiệm
 2 4
 2.b Cho phương trình x2 2 m 1 x m2 4 0 (1). 2,0
 DeThiToan.net Tổng hợp 58 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 
 2 2
 thỏa mãn x1 2 m 1 x2 3m 16 0.
 Tính được 2m 3
 3 0,25
 Phương trình (1) có hai nghiệm x , x 0 m 
 1 2 2
 0,5
 Tính được x1 x2 2 m 1 
 2 2 2 2 0,25
 x 2 m 1 x m 4 0 x 2 m 1 x m 4
 1 1 1 1 0,25
 x2 2 m 1 x 3m2 16 0 2 m 1 x m2 4 2 m 1 x 3m2 16 0
 1 2 1 2 
 2 m 1 x x 4m2 20 0
 1 2 0,25
 2 3
 4 m 1 4m2 20 0 m 2 . Kết luận m 2 0,5
 2
 2 p 2 x2 3
3.a Tìm tất cả số nguyên tố p và cặp số tự nhiên (x; y) sao cho . 2,0
 p 2y2 3x 5
 Xét p 2, ta có: 2y2 3x 5 2 x2 3 2y2 2x2 3x 1 (1)
 Nếu x chẵn thì PT (1) VN nên x là số lẻ, đặt x 2n 1,n ¥ . Suy ra: 0,25
 y2 4n2 n y2 n 4n 1 . (2)
 Vì y2 là số chính phương và n,4n 1 1nên (2) có nghiệm duy nhất 0,25
 n 0, y 0 x 1; y 0 .
 0,25
 2 2 2 2
 Xét p 3 , ta có: 2 2y 3x 5 3 x 3 4y 3x 6x 1 (3) 0,25
 Vì 4y2  0 mod3 hoặc 4y2 1 mod3 mà 3x2 6x 1  2 mod3 nên phương 
 trình (3) vô nghiệm. 0,25
 Xét p 5 là số nguyên tố lẻ. PT đã cho 2 p 2 2y2 3x 5 p x2 3 (4) 0,25
 Nếu x chẵn: p x2 3 lẻ mà vế trái luôn chẵn nên (4) vô nghiệm.
 0,25
 Nếu x lẻ: đặt x 2n 1,n ¥ (4) 2 p 3 y2 3n 4 pn(n 1) 1.
 Vế phải luôn lẻ vì n n 1 chẵn, mà vế trái luôn chẵn nên (4) vô nghiệm. 0,25
 Kết luận p 2; x 1; y 0
 Cho hai hộp kín, hộp thứ nhất chứa 8 cái thẻ được đánh số từ 1 đến 8 và 
 hộp thứ hai chứa 12 cái thẻ được đánh số từ 1 đến 12. Các thẻ có kích thước 
3.b 2,0
 như nhau. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi hộp một thẻ. Tính xác suất chọn được 
 hai thẻ mà tích của hai số trên thẻ là một số chia hết cho 7.
 Hộp thứ nhất có 8 cách chọn thẻ và hộp thứ hai có 12 cách chọn thẻ nên có 0,5
 tất cả 8 x 12 = 96 cách chọn. 0,5
 Tích của hai số chia hết cho 7 nên có ít nhất một số chia hết cho 7
 Tổng số cách chọn thuận lợi là 1 x 8 + 1 x 12 – 1 = 19 0,5
 DeThiToan.net Tổng hợp 58 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Có đáp án) - DeThiToan.net
 Vậy xác suất chọn được hai thẻ mà tích của hai số trên thẻ là một số chia 0,5
 19
 hết cho 7 là .
 96
 Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC, đường tròn (O) đường kính BC cắt AB 
 tại F, cắt AC tại E. Gọi K là giao điểm của EF và BC, gọi H là giao điểm của 
 BE và CF, đường thẳng AH cắt BC tại D, đường thẳng FD cắt đường tròn (O) 
 tại M (M # F).
4.a 2,0
 a) Chứng minh ABDE là tứ giác nội tiếp.
 b) Chứng minh BC là đường phân giác của E· BM và KF.DM = KM.DF.
 c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt AK tại P (P ≠ A), cắt ED tại Q (Q ≠ E). 
 Chứng minh ba điểm P, Q, C thẳng hàng.
 A
 E
 F 1,0
 H
 D
 K B O C
 M
 Ta có B· EC 90 BE  AC ; B· FC 90 CF  AB do đó H là trực tâm tam 1,0
 giác ABC suy ra AH  BC .
 Xét tứ giác ABDE có ·AEB ·ADB 90 suy ra tứ giác ABDE nội tiếp.
4.b b) Chứng minh BC là đường phân giác của E· BM và KF.DM KM.DF . 1,5
 A
 E
 F 0,5
 H
 D
 K B O C 0,25
 M
 0,25
 Tứ giác BDHF có B· DH B· FH 90 suy ra tứ giác BDHF nội tiếp.
 Do đó C· FM E· BC (cùng chắn cung H¼D )
 · · · · ·
 Mà CFM CBM do vậy EBC CBM suy ra BC là đường phân giác của EBM . 0,25
 CE CM
 Từ đây có E»C M¼ C suy ra E»B M»B do đó suy ra BC là đường 
 BE BM
 thẳng trung trực của EM suy ra KEM cân tại K, do đó KD là phân giác của 0,25
 F· KM
 DeThiToan.net