12 Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2021-2026 môn Toán SGD Hà Tĩnh (Có đáp án)

 ĐỀ SỐ 1
 KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2026
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÔN: TOÁN
 HÀ TĨNH
 Thời gian làm bài: phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Phương trình sinx 1 0 có nghiệm là
A. x k ,k Z . B. x k2 ,k Z . C. x k ,k Z . D. x k2 ,k Z
 2 2
 3x 2
Câu 2. Giá trị lớn nhất của hàm số y trên đoạn 0;2 bằng
 x 1
 8 10
A. . B. 3 C. D. 2 
 3 3
Câu 3. Gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Tính xác suất để tổng số 
chấm xuất hiện trong hai lần gieo bằng 8, biết rằng lần gieo thứ nhất xuất hiện mặt 5 chấm.
 5 1 1 1
A. B. C. D. 
 6 6 3 36
Câu 4. Cho hàm số f x 3x 1. Một nguyên hàm của f x trên R là
 3x 3x
A. F x . B. F x x . C. F x 3x x . D. F x 3x ln3.
 ln3 ln3
 5 5
Câu 5. Cho hàm số y f x liên tục trên R thỏa mãn f x dx 6, f x dx 2 . Giá trị của biểu thức 
 0 2
 2
 f x dx bằng
 0
A. 3 B. 4 C. 2 D. 8 
Câu 6. Khảo sát thời gian ứng dụng AI vào học tập trong một ngày của học sinh lớp 12 A, thu được mẫu 
số liệu như sau:
 Thời gian (phứt) 20;25 25;30 30;35 35;40 40;45 
 Số học sinh 5 8 14 10 6
Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng (làm tròn kết quả hàng phần trăm)?
A. 32,96 B. 32,97 C. 31,95 D. 31,94.
Câu 7. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho vectơ a thỏa mãn a 4i 3 j 5k . Tọa độ vectơ a là
A. 3;4; 5 . B. 4;3; 5 . C. 4; 3;5 . D. 5;4;3 .
Câu 8. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hàm số đồng biến trên khoảng 
nào? A. ;3 . B. 3;3 . C. (-3;0). D. 0; .
Câu 9. Cho cấp số nhân un với u1 1 và u2 2 . Công bội của cấp số nhân đã cho là
 1 1
A. q . B. q 2 . C. q 2 . D. q .
 2 2
Câu 10. Cho hình lập phương ABCD  A B C D . Tìm mệnh đề sai?
         
A. A A;CB 45 . B. AC; B D 90 . C. AD; A B 90 . D. AB; A C 45 .
Câu 11. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x 2y 4 0 , khị đó một vectơ pháp tuyến 
của mặt phẳng P là
A. n 1; 2;0 . B. n 1;2;4 . C. n 1;2; 4 . D. n 1; 2; 4 .
Câu 12. Tập nghiệm của bất phương trình log 1 x 1 3 0 là
 2
A. 9; . B. ;9 . C. (1;7). D. (1;9).
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng 
hoặc sai.
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mắt một người quan sát đặt tại điểm M 1;2;3 và quan sát 
một thanh AB với A 7;8; 3 , B 2;3; 3 . Một tấm bìa cứng có dạng hình tròn thuộc mặt phẳng Oxy có 
tâm O 0;0;0 , bán kính R và che khuất hoàn toàn thanh AB đối với người quan sát tại điểm M .  
a) Vecto MA 6;6; 6 .
b) Đường thẳng AB tạo với mặt phẳng chứa tấm bìa một góc 30 .
 x 1 t
c) Phương trình đường thẳng MA: y 2 t , t R .
 z 3 t
d) Tấm bìa có bán kính nhỏ nhất bằng 41 .
Câu 2. Từ một nhóm học sinh gồm 6 học sinh lớp 10A,8 học sinh lớp 10B và 7 học sinh lớp 10C . Chọn 
ngẫu nhiên 5 học sinh từ nhóm học sinh trên?
a) Số cách chọn 5 học sinh đều thuộc lớp 10 A là 6 cách.
b) Số cách chọn 5 học sinh tùy ý là 20349 cách.
c) Số cách chọn 5 học sinh có đủ cả ba lớp sao cho số học sinh lớp 10C lớn hơn hai là 1860 cách.
 1528
d) Xác suất để chọn 5 học sinn sao cho không tồn tại lớp nào có đúng 1 học sinh được chọn là .
 6783
 x2 x 100
Câu 3. Cho hàm số y f x .
 x
a) Tập xác định cùa hàm số là D R ‚ 0.
b) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y f x là đường thẳng có phương trình y x 1.
c) Hàm số y f x không có điểm cực trị.
d) Xí nghiệp A sản xuất x sản phẩm với tổng chi phí được cho bởi công thức C x x2 x 100 (đơn vị 
ngàn đồng, x 1). Khi đó chi phí sàn xuất trung bình của một sản phẩm thấp nhất bằng 19 ngàn đồng.
Câu 4. Chiếc mũ rộng vành được mô hình hóa khi cho hình phẳng H được giới hạn bởi đồ thị hàm số 
 1 x2 khi 1 x 0
y f x , trục Ox và các đường thẳng x 1, x 1 quay xung quanh trục Ox 
 3
 x 1 khi 0 x 1
(tham khảo hình vẽ). Biết đơn vị trên mỗi trục là dm. a) Giá trị của hàm số f x khi x 1 bằng 2.
 1 2 3
b) Diện tích của hình phằng H là S 1 1 x x 1 dx .
c) Vành của chiếc mũ (giao tuyến của mặt tròn xoay cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x 1) 
có diện tích bằng 2 dm2 .
 97
d) Thể tích của khối tròn xoay trên là  dm3 .
 42
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Một giàn khung thép đỡ bồn nước sinh hoạt có dạng là hình lăng trụ tam giác đều ABC  A B C . 
Để giàn đỡ có kết cấu chắc chắn người ta hàn thêm 1 số thanh sắt (hình vẽ), trong đó có hai thanh 
AB  BC . Cho biết cạnh đáy của giàn đỡ AB 2 m . Tính thể tích V m3 của khối lăng trụ 
ABC  A B C (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Câu 2. Xếp 8 quyển sách giống nhau vào một giá sách gồm 10 ngăn. Gọi P là xác suất để xếp 8 quyển 
sách vào 10 ngăn sao cho số quyển sách trong mỗi ngăn không quá 2 quyển sách, có 4 ngăn hoặc 6 ngăn 
chưa đúng 1 quyển sách và các ngăn liền kề với ngăn chứa 2 quyển sách là ngăn không có quyển sách 
nào. Tính 12155P . Câu 3. Giả sử số lượng tế bào của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phỏng thí nghiệm 
 a
được mô hình hóa bằng hàm số P t (với a,b R ), trong đó thời gian t được tính bằng giờ. 
 b e 0,75t
Đạo hàm của hàm số y P t biểu thị tốc độ sinh trưởng của nấm men (tính bằng tế bào/giờ) tại thời 
điểm t (giờ). Tại thời điểm ban đầu t 0 , quần thể có 24 tế bào và tốc độ sinh trưởng là 8 tế bào/giờ. Sau 
một thời gian về lâu dài thì số lượng tế bào của quần thể nấm men tiến về giá trị bao nhiêu?
Câu 4. Trong một chương trình giao lưu âm nhạc đón Tết vui xuân, ban đầu với sự tham dự của 1700 
khán giả. Ban tổ chức đã thống kê được số lượng khán giả ở lại sân khấu xem âm nhạc theo thời gian, 
 1700 400t,0 t 2
được mô tả bởi một hàm số liên tục trên t 0; : f t 2 (trong đó f t là số 
 a(t 2) b,t 2
khán giả, t là số giờ kể từ khi chương trình bắt đầu, a,b là tham số thực), với hàm số f t mô tả tổng sự 
hiện diện của khán giả theo thời gian t . Sau 2 giờ 30 phút số lượng khán giả ở lại sân khấu là 875. Hỏi từ 
khi bắt đầu cho đến khi khán giả ra về hết, trung bình mỗi giờ còn bao nhiêu khán giả ở lại tham gia 
chương trình âm nhạc?
Câu 5. Tỉ lệ lạm phát là tỉ lệ phần trăm biểu thị mức tăng chung của giá hàng hóa và dịch vụ trong một 
khoảng thời gian (thường tính theo năm). Nếu tỉ lệ lạm phát của năm sau so với năm trước là i thì A 
đồng ở năm trước tương đương với P A 1 i đồng ở năm sau.
Ông An gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 6% /năm, theo hình thức lãi kép, tính lãi mới năm 
một lần (tức là lãi của năm trước được nhập vào vốn để tính lãi cho năm sau). Sau 2 năm, ông An nhận cả 
vốn và lãi. Giả sử trong 2 năm đó, tỉ lệ lạm phát ổn định 4% /năm. Nếu quy đổi theo mức giá tại thời 
điểm gửi tiền thì số tiền ông An nhận được sau 2 năm tương đương bao nhiêu triệu đồng (làm tròn kết 
quả đến hàng đơn vị)?
 x 2 y 1 z 5
Câu 6. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng có phương trình d : ; 
 3 4 5
 x 1 y 1 z 4
d : , trong đó a,b,c là các số thực khác 0 sao cho các đường thằng d và d cắt nhau 
 a b c
tại M . Mặt phẳng P : 2x y 2z 6 0 lần lượt cắt các trục Ox,Oy,Oz tại A, B,C . Tính thể tích của khối 
tứ diện MABC . ĐÁP ÁN
PHẦN I: Trắc nghiệm nhiều lựa chọn
 Đáp án
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
 D A B B B B B C B D A D
PHẦN II: Trắc nghiệm đúng sai
 Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4
 a)D-bSs-c)D-d)D a)D-b)D-c)S-d)D a)D-b)D-c)S-d)D a)D-b)S-c)S-d)D
PHẦN III: Trắc nghiệm trả lời ngắn
 Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6
 2,45 131 43,2 880 104 13,5
 LỜI GIẢI CHI TIẾT THAM KHẢO
Phần II
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mắt một người quan sát đặt tại điểm M(1;2;3) và quan sát 
một thanh AB với A(7;8;-3), B(2;3;-3). Một tấm bìa cứng có dạng hình tròn thuộc mặt phẳng (Oxy) có 
tâm O(0;0;0), bán kính R và che khuất hoàn toàn thanh AB đối với người quan sát tại điểm M.
  
a) Vectơ MA (6;6; 6) .
Ta có
 
MA A M (7 1;8 2; 3 3) (6;6; 6). Vậy mệnh đề đúng.
b) Đường thẳng AB tạo với mặt phẳng chứa tấm bìa một góc 30 .
  
Ta có: AB B A (2 7;3 8; 3 ( 3)) ( 5; 5;0)
  
Vì AB có tọa độ z 0 nên đường thẳng AB song song với mặt phẳng (Oxy) .
Do đó góc giữa AB và (Oxy) bằng 0 , không phải 30 .
Vậy mệnh đề sai.
c) Phương trình đường thẳng MA là
 x 1 t
 y 2 t (t ¡ ).
 z 3 t
  
Vì đường thẳng MA đi qua điểm M (1;2;3) và có vectơ chỉ phương MA (6;6; 6) 6(1;1; 1), nên một 
 x 1 t
phương trình tham số của MA là y 2 t (t ¡ ).
 z 3 t
Vậy mệnh đề đúng.
d) Tấm bìa có bán kính nhỏ nhất bằng 41 . Để tấm bìa che khuất hoàn toàn thanh AB đối với người quan sát tại M , hình tròn trong mặt phẳng (Oxy) 
phải chứa đoạn giao của chùm tia xuất phát từ M đi qua thanh AB với mặt phẳng (Oxy) .
Trước hết, tìm giao điểm của đường thẳng MA với mặt phẳng (Oxy) .
Từ phương trình ở ý c), cho z 0 thì: 3 t 0 t 3.
Suy ra giao điểm là: A (4;5;0).
Tiếp theo, xét đường thẳng MB.
  
Ta có MB B M (2 1;3 2; 3 3) (1;1; 6).
 x 1 s
Phương trình tham số của MB là y 2 s (s ¡ ).
 z 3 6s
 1
Cho z 0 thì3 6s 0 s .
 2
 3 5 
Suy ra giao điểm là B ; ;0 .
 2 2 
Khi đó hình tròn tâm O nhỏ nhất che được đoạn A'B' phải có bán kính bằng Rmin max{OA ,OB }.
Ta tính được
OA 42 52 41, và
 2 2
 3 5 9 25 17
OB .
 2 2 4 4 2
Do đó Rmin 41.
Vậy mệnh đề đúng.
Câu 2. Từ một nhóm học sinh gồm 6 học sinh lớp 10A, 8 học sinh lớp 10B và 7 học sinh lớp 10C. Chọn 
ngẫu nhiên 5 học sinh từ nhóm học sinh trên.
Tổng số học sinh là: 6 8 7 21.
a) Số cách chọn 5 học sinh đều thuộc lớp 10A là 6 cách.
 6 
Ta có 6. Vậy mệnh đề đúng.
 5 
b) Số cách chọn 5 học sinh tùy ý là 20349 cách.
 21 2120191817
Tổng số cách chọn 5 học sinh từ 21 học sinh là 20349. 
 5 54321
Vậy mệnh đề đúng.
c) Số cách chọn 5 học sinh có đủ cả ba lớp sao cho số học sinh lớp 10C lớn hơn hai là 1860 cách.
Vì chọn 5 học sinh, có đủ cả ba lớp và số học sinh lớp 10C lớn hơn 2, nên số học sinh lớp 10C phải là 3.
Khi đó số học sinh của ba lớp lần lượt là (1;1;3).
 6 8 7 
Số cách chọn là 6835 1680. Không phải 1860.
 1 1 3 
Vậy mệnh đề sai. 1528
d) Xác suất để chọn 5 học sinh sao cho không tồn tại lớp nào có đúng 1 học sinh được chọn là .
 6783
Gọi số học sinh được chọn từ các lớp 10A,10B,10C lần lượt là a,b,c. 
Khi đó a b c 5, a,b,c 0. Điều kiện “không tồn tại lớp nào có đúng 1 học sinh được chọn” nghĩa là 
không có số nào trong a,b,c bằng 1.
Các bộ (a,b,c) thỏa mãn là: (5,0,0), (0,5,0), (0,0,5), (3,2,0), (3,0,2), (2,3,0), (0,3,2), (2,0,3), (0,2,3).
Số cách tương ứng là:
 6 8 7 6 8 
 6, 56, 21, 2028 560,
 5 5 5 3 2 
 6 7 6 8 
 2021 420, 1556 840,
 3 2 2 3 
 8 7 6 7 
 5621 1176, 1535 525,
 3 2 2 3 
 8 7 
 2835 980.
 2 3 
Cộng lại, số trường hợp thuận lợi là 6 56 21 560 420 840 1176 525 980 4584. 
 4584 1528
Do đó xác suất cần tìm là P . Vậy mệnh đề đúng.
 20349 6783
Câu 3. Cho hàm số
 x2 x 100
y f (x) .
 x
 100
Ta có: f (x) x 1 .
 x
a) Tập xác định của hàm số là D ¡ ‚ {0}.
Vì mẫu số khác 0 nên: x 0. Do đó: D ¡ ‚ {0}. Vậy mệnh đề đúng.
b) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y f (x) là đường thẳng có phương trình y x 1.
 100 100
Ta có f (x) x 1 . Khi x thì 0. Suy ra tiệm cận xiên của đồ thị là y x 1.
 x x
Vậy mệnh đề đúng.
c) Hàm số y f (x) không có điểm cực trị.
Ta tính đạo hàm:
 100 x2 100
f (x) 1 . Cho f (x) 0 , ta được: x2 100 0 x 10. Vậy hàm số có hai điểm cực trị, 
 x2 x2
nên mệnh đề đã cho là sai.
d) Xí nghiệp A sản xuất x sản phẩm với tổng chi phí được cho bởi công thức
C(x) x2 x 100 (đơn vị ngàn đồng, x 1) Khi đó chi phí sản xuất trung bình của một sản phẩm thấp 
nhất bằng 19 ngàn đồng. C(x) x2 x 100 100
Chi phí trung bình của một sản phẩm là C(x) x 1 , x 1. 
 x x x
 100 100
Ta có C (x) 1 . Cho C (x) 0 , suy ra 1 0 x2 100 x 10 (vì x 1).
 x2 x2
 100
Khi đó: C C(10) 10 1 19. Vậy mệnh đề đúng.
 min 10
Câu 4. Chiếc mũ rộng vành được mô hình hóa khi cho hình phẳng (H ) được giới hạn bởi đồ thị hàm số
 1 x2 khi 1 x 0,
y f (x) trục Ox và các đường thẳng x 1, x 1 quay xung quanh trục Ox.
 3
 x 1 khi 0 x 1,
a) Giá trị của hàm số f (x) khi x 1 bằng 2.
Vì 1 (0;1] nên f (1) 13 1 2. Vậy mệnh đề đúng..
 1
b) Diện tích của hình phẳng (H ) là: S 1 x2 x3 1dx.
 1
Biểu thức trên sai, vì trên mỗi khoảng chỉ dùng một nhánh của hàm số đã cho.
 0 1
Diện tích đúng phải là S 1 x2 dx (x3 1)dx.
 1 0
Vậy mệnh đề sai.
c) Vành của chiếc mũ (giao tuyến của mặt tròn xoay cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x 1) 
có diện tích bằng 2 (dm2 ) .
Tại x 1, bán kính của tiết diện tròn là: f (1) 2. 
Vậy diện tích hình tròn tiết diện là: S 22 4 (dm2 ). Không phải 2 . Vậy mệnh đề sai.
 97 
d) Thể tích của khối tròn xoay trên là (dm3 ).
 42
 1 0 1
Thể tích khối tròn xoay là V f 2 (x)dx (1 x2 )dx (x3 1)2 dx .
 1 1 0 
 3 0
 0 x 2
Ta tính: (1 x2 )dx x .
 1 
 3 1 3
 7 4 1
 1 1 x x 1 1 23
Tiếp theo, (x3 1)2 dx (x6 2x3 1)dx x 1 .
 0 0 
 7 2 0 7 2 14
 2 23 28 69 97 
Suy ra: V  . Vậy mệnh đề đúng.
 3 14 42 42
PHẦN III.
Câu 1. Một giàn khung thép đỡ bồn nước sinh hoạt có dạng là hình lăng trụ tam giác đều ABC.A' B 'C '. 
Để giàn đỡ có kết cấu chắc chắn người ta hàn thêm một số thanh sắt (hình vẽ), trong đó có hai thanh AB ' 
và BC ' vuông góc với nhau. Cho biết cạnh đáy của giàn đỡ AB 2 m . Tính thể tích V (m3 ) của khối lăng 
trụ ABC.A' B 'C ' (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Đặt hệ trục tọa độ sao cho A(0,0,0), B(2,0,0), C(1, 3,0), và gọi chiều cao của lăng trụ là h . 
Khi đó A (0,0,h), B (2,0,h), C (1, 3,h).   
Ta có AB (2,0,h), BC ( 1, 3,h).
   
Vì AB  BC nên AB  BC 0 2( 1) 0 3 h2 0
 2 h2 0 h 2.
 22 3
Diện tích đáy tam giác đều cạnh 2 là S 3. 
 V ABC 4
 3
Vậy thể tích khối lăng trụ là V SV ABC h 3  2 6 2.45 (m ).
V 2.45 (m3 )
Câu 2. Xếp 8 quyển sách giống nhau vào một giá sách gồm 10 ngăn. Gọi P là xác suất để xếp 8 quyển 
sách vào 10 ngăn sao cho số quyển sách trong mỗi ngăn không quá 2, có 4 ngăn hoặc 6 ngăn chứa đúng 1 
quyển sách và các ngăn liền kề với ngăn chứa 2 quyển sách là ngăn không có quyển sách nào. Tính 
12155P .
Gọi số sách trong 10 ngăn lần lượt là x1, x2 ,, x10 .
Tổng số cách xếp 8 quyển sách giống nhau vào 10 ngăn là số nghiệm nguyên không âm của phương trình
x1 x2  x10 8.
 8 10 1 17 
Do đó: N 24310.
 10 1 9 
Ta đếm số trường hợp thuận lợi.
Trường hợp 1: Có 6 ngăn chứa đúng 1 quyển sách.
Khi đó có đúng 1 ngăn chứa 2 quyển sách và 3 ngăn trống.
Nếu ngăn chứa 2 quyển ở đầu dãy: có 2 cách chọn đầu dãy. 
Ngăn kề nó bắt buộc trống. Còn lại 8 ngăn gồm 6 ngăn chứa 1 quyển và 2 ngăn trống, nên có
 8 
 28 cách.
 6 
Số cách trong trường hợp này là: 228 56.
Nếu ngăn chứa 2 quyển ở vị trí giữa: có 8 cách chọn vị trí. 
Hai ngăn kề nó bắt buộc trống. Còn lại 7 ngăn gồm 6 ngăn chứa 1 quyển và 1 ngăn trống, nên có
 7 
 7 cách.
 6 
Số cách trong trường hợp này là: 87 56.
Vậy số cách thuận lợi của trường hợp 1 là: N1 56 56 112.
Trường hợp 2: Có 4 ngăn chứa đúng 1 quyển sách.
Khi đó có đúng 2 ngăn chứa 2 quyển sách và 4 ngăn trống.
2.1. Cả hai ngăn chứa 2 quyển đều ở hai đầu dãy.
Khi đó mẫu hình có dạng
2002 với phần giữa còn 6 ngăn, trong đó có 4 ngăn chứa 1 quyển và 2 ngăn trống. 
 6 
Số cách là 15.
 4