2 Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 môn Toán SGD Phú Thọ (Có đáp án)

 ĐỀ SỐ 1
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2026
 PHÚ THỌ MÔN: TOÁN
 LẦN 1 Thời gian làm bài: ..... phút (Không kể thời gian giao đề)
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Trong mặt phẳng , tâm của đường tròn ( ): 2 + 2 +6 ―4 ―23 = 0 có tọa độ là:
A. ( ― 3; ― 2).B. (3;2).C. (3; ― 2).D. ( ― 3;2).
 1
Câu 2. Điểm cực tiểu của hàm số số 3 2 là
 = 3 ―2 +3 ―1
 1
A. .B. . C. .D. .
 = 3 = 1 = 3 = ―1
Câu 3. Cho cấp số nhân ( 푛) có số hạng đầu 1 = 3 và công bội 푞 = 2. Số hạng thứ 5 của cấp số nhân là
A. 5 = ―5.B. 5 = 48.C. 5 = ―96.D. 5 = 3.
Câu 4. Tập nghiệm của phương trình sin = 3 là
 2
A. + ; 2 + , ∈ ℤ .B. + 2 ; ― + 2 , ∈ ℤ .
 3 3 6 6
C. ― + 2 ; ― 5 + 2 , ∈ ℤ .D. + 2 ; 2 + 2 , ∈ ℤ .
 6 6 3 3
Câu 5. Cho hàm số bậc ba = 3 + 2 + + ( ≠ 0) có đồ thị như hình vẽ
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A. ( ― ∞; ― 1).B. (-1;1).C. (1; + ∞).D. ( ― 4;0).
Câu 6. Miền không bị gạch chéo trong hình vẽ (kẻ cả bờ) là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào 
dưới đây? ≥ 0 ≤ 0 ≥ 0 ≥ 0
A. ≥ 0 .B. ≥ 0 .C. ≤ 0 .D. ≥ 0 .
 2x + ≤ 4 2x + ≤ 4 2 ― ≤ 4 2 ― ≤ 4
Câu 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ , điểm ′ đối xứng với điểm (2; ― 3;1) qua mặt phẳng 
 có tọa độ là
A. (2; ― 3; ― 1).B. ( ―2; ― 3;1).C. (2;3;1).D. ( ― 2;3; ― 1).
 3 7
Câu 8. Cho hàm số . Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn bằng
 = 1 [0;3]
A. 4.B. 3.C. 0.D. 7.
Câu 9. Thời gian truy cập Internet mỗi buổi tối của một nhóm học sinh được thống kê trong bảng sau: 
Khoảng tứ phần vị của mẫu số liệu đã cho bằng
 Thời gian (phút) [10,5;12,5) [12,5;14,5) [14,5;16,5) [16,5;18,5) [18,5;20,5)
 Số học sinh 10 20 25 18 15
 19 35 43 83
A. .B. . C. .D. .
 6 2 3 6
Câu 10. Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm (1;2;3) và (0; ― 1;2). Véc tơ = 
― có tọa độ là
A. ( ― 0;2;6).B. ( 1;3;1). C. (1;1;5).D. ( ― 1; ― 3; ― 1).
 10
Câu 11. Đường thẳng nào đưới đây là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 
 = 2 ―5 + 3
A. = +3.B. = 2 +3.C. = 2 +3.D. = 2 ―5.
Câu 12. Cho lăng trụ đều ⋅ ′ ′ ′ có ′ = 3 , = . Khi đó cosin của góc giữa hai véc tơ ′ và 
 ′ bằng
 7 7 17 17
A. .B. .C. .D. .
 20 ― 20 ― 20 20
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi 
câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Một cơ sở sản xuất hàng thủ công thống kê vể số lượng sản phẩm bán được trong 30 ngày như 
sau:
 Số lượng sản phẩm [100;140) [140;180) [180;220) [220;260) [260;300) Số ngày 3 6 12 6 3
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu đã cho là 200.
b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đã cho là 60.
c) Trung bình số sản phẩm bán được trong một ngày là 220.
d) Phương sai của mẫu số liệu đã cho là 1920.
Câu 2. Cho hàm số = 3 ―3 2 +5 có đổ thị là ( ). Khi đó:
a) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0;2).
b) Hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên khoảng (0; + ∞) bằng 2.
d)Tiếp tuyến của đổ thị ( ) tại điếm có hoành độ bằng 1 là đường thằng có phương trình = ―3 +3.
Câu 3. Cho hình chóp đều 푆. có 푆 = = 4 2. Gọi là trung điểm của , là trọng tâm tam 
giác 푆 .
a) 푆 + 푆 = 푆 + 푆 .
b) 푆 = ―2 +3 .
c) Nếu chọn hệ tọa độ sao cho là tâm hình vuông , thuộc tia , thuộc tia ,푆 thuộc tia 
 . Điểm ( ; ; ) thuộc mặt phẳng (푆 ) sao cho , , thẳng hàng thì + + = 2.
d) Nếu chọn hệ tọa độ sao cho là tâm hình vuông , thuộc tia , thuộc tia ,푆 thuộc tia 
 . Điểm 퐹( ; ; ) thuộc mặt phẳng (푆 ) sao cho 퐹 + 퐹 nhỏ nhất thì + + = ―1.
Câu 4. Tại một khu bảo tổn thiên nhiên các nhà khoa học đã thả một số cá thể của một loài động vật quý 
hiếm trong một khu rừng rộng 10 hecta vả theo dõi sự tăng trưởng số lượng của chúng. Họ thấy rằng sổ 
lượng cá thể của loải động vật đó sau 푡 năm kể từ khi nuổi tại khu bảo tồn được xấp xi bời hàm sổ ℎ(푡
) = 70log 8푡 1 +30 (cá thể, 푡 là số thực dương) và tốc độ tăng trương số lượng cá thể cùa loài động 
 2 푡 1
vật đó tại thời điểm sau đúng 푡 năm kể từ khi nuôi được xẩp xỉ bởi hàm sổ ℎ′(푡) (đơn vị: cá thể/năm).
a) Thởi điểm ban đầu, người ta thả nuổi 30 cá thể.
b) Sau 9 tháng kể từ khi bắt đẩu nuổi, số lượng cá thể của loài động vật đó là 170.
 10
c) Tốc độ tăng trưởng sổ lượng cá thể cùa loải động vật đó tại thởi điểm đúng 6 năm kể từ khi nuổi là 
 7
(cá thể/năm).
d) Số lượng cá thể cùa loải động vật đó không vượt quá 240.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6
Câu 1. Cho hình chóp 푆. có đáy là hỉnh chữ nhật tâm vởi = 6, = 8. Biết 푆 vuông 
góc với mặt phẳng ( ) và 푆 tạo với mặt phẳng ( ) một góc 45∘. Gọi là trung điểm của 푆 . 
 120
Biết khoảng cách giữa hai đưởng thẳng và bẳng , giá trị của bằng bao nhiêu?
 푆 푛 푛
Câu 2. Cho đa giác đều 36 đỉnh 1 2 36 nội tiếp đường tròn tâm . Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong số 
các đỉnh 1, 2,, 36 của đa giác đã cho, biết xác suất để chọn được ba đỉnh tạo thành một tam giác có 
một góc bằng 120∘ là 푃. Giá trị biểu thức 595푃 bằng bao nhiêu?
Câu 3. Cho hình chóp 푆. , biết 푆 vuông góc với mặt phẳng ( ) và 푆 = 2 3. Tam giác vuông tại với = 6, = 8. Gọi là trung điểm cùa . Giá trị cúa |푆 + 푆 + 푆 + | + 푆 ⋅
 bằng bao nhiêu?
Cåu 4. Bác An có một cửa hàng chuyên bán buôn bưởi Đoan Hùng, bác nhận thấy rằng: Nếu bán mỗi 
kilogram bưởi với giá 30 nghìn đồng thì mỗi tuần có 60 đơn hàng và mỗi đơn hàng mua 100 kilogram. 
Nếu cứ tăng giá mỗi kilogram bưởi thêm 2 nghìn đồng thì hàng tuần số đơn hàng giảm 4 đơn, đồng thời 
số lượng bưởi mà mỗi đơn hàng đặt mua cũng giảm đi 2 kilogram. Hỏi bác cần bán mỗi kilogram bưởi 
với giá bao nhiêu nghìn đồng để lợi nhuận hàng tuần thu được là lớn nhất, biết giá nhập mỗi kilogram 
bưởi là 24 nghìn đồng và giá bán không vượt quá 50 nghìn đồng/1 kilogram. (Kết quả làm tròn đến hàng 
đơn vị).
Câu 5. Huyết áp là áp lực cùa máu tác động lên thành động mạch khi tim bơm máu vào động mạch. Giả 
sử trong một giai đoạn vận động thể thao, huyết áp của một người thay đổi theo thởi gian được cho bởi 
hàm số (푡) = 100 + 20cos (120 푡), trong đó (푡) là huyết áp tính theo đơn vị mmHg phụ thuộc vào 
thời gian 푡 tính theo phút. Trong 10 phút tính từ thời điểm ban đầu khi 푡 = 0, có bao nhiêu lần huyết áp 
cúa người này mức 90 mmHg ?
Câu 6. Cho hình lăng trụ ⋅ ′ ′ ′ có ′ = ′ = ′ , cạnh bên ′ = 4, đáy là tam giác đểu. 
Biết mặt phẳng ( ′ ′) tạo với mặt phẳng ( ) một góc 60∘. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bẳng 
bao nhiêu? ĐÁP ÁN
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
 1. D 2. A 3. B 4. D 5. B 6. A
 7. C 8. D 9. A 10. B 11. D 12. C
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai.
 Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4
 Đ – Đ – S – Đ Đ – Đ – S – S S – Đ – Đ – S Đ – Đ – S – Đ
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
 Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6
 1201 33 60 40 1200 18
 HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: D
Câu 2: A
Ta có: ′ = 2 ―4x + 3; ′ = 0⇔ = 1; = 3
Câu 3: B
 4
Áp dụng công thức 5 = 1 ⋅ 푞 = 48.
Câu 4: D
 3 2 
sin = ⇔ = + 2 ; = + 2 .
 2 3 3
Câu 5: B
Câu 6: A
- Đường thẳng AB có phương trình 2x + y = 4. 
- Miền nghiệm chứa gốc tọa độ O nên chọn đáp án A.
Câu 7: C
- Đối xứng qua Oxz thì ya’ = -ya = 3. Suy ra A(2;3;1)
Câu 8: D
 4
 ′
 ( ) = ( 1)2 < 0 ∀ ≠ ―1. Do đó hàm số nghịch biến trên [0;3]
Vậy giá trị lớn nhất bằng (0) = 7.
Câu 9: A
 14 ― 3 43 42 ― 30 35
푄 = 12,5 + ⋅ 2 = ,푄 = 16,5 + ⋅ 2 =
 1 12 3 3 24 2
 35 43 19
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đã cho bằng 
 푄3 ― 푄1 = 2 ― 3 = 6
Câu 10: B
Câu 11: D
Ta có: lim   2 ― 5 + 10 ― (2 ― 5) = 0 nên đồ thị hàm số có tiệm cận xiên: = 2 ―5.
 →+∞ 3 Câu 12: C
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
 3
Ta có: 0; ― ;0 , ′ 0; ;3 , ′ 0; ― ;3 , ;0;0
 2 2 2 2
 3 
 ′ = (0; ;3 ), ′ = ; ; ― 3 
 2 2
 ⋅ 2 ― 3 ⋅ 3 ―17
Cos ′, ′ = = .
 2 2 20
 2 2 ⋅ 3 2
 + 9 ⋅ 4 + 4 + 9 
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai
Câu 1:
Ta có khoảng biến thiên 푅 = 300 ― 100 = 200
Ta có 푛 = 30.
 1 ⋅ 30 3 ⋅ 30
 ― 3 ― (3 + 6 + 12)
 푄 = 140 + 4 ⋅ (180 ― 140) = 170,푄 = 220 + 4 ⋅ (260 ― 220) = 230.
 1 6 3 6
Vậy khoảng tứ phân vị là Δ푄 = 푄3 ― 푄1 = 230 ― 170 = 60.
 3⋅120 6⋅160 12⋅200 6⋅240 3⋅280
Giá trị trung bình của mẫu số liệu là .
 = 30 = 200
Phương sai của mẫu số liệu là
 3 ⋅ 1202 + 6 ⋅ 1602 + 12 ⋅ 2002 + 6 ⋅ 2402 + 3 ⋅ 2802
푆2 = ― 2002 = 1920.
 30
a) ĐÚNG b) ĐÚNG c) SAI d) ĐÚNG
Câu 2:
Ta có ′ = 3 2 ―6 , ′ = 0 suy ra = 0 hoặc = 2.
Bảng biến thiên của hàm số
 x -∞ 0 2 +∞
 y’ + 0 - 0 + 0 5 +∞ 
 y
 -∞ 1
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
Hàm số nghịch biến trên (0;2)
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị
Hàm số có giá trị nhỏ nhất trên (0; + ∞) là 1.
 ′
Khi = 1⇒ = 3 và =1 = ―3.
Phương trình tiếp tuyến tại = 1 là = ―3( ― 1) + 3 = ―3 + 6
a) ĐÚNG b) ĐÚNG c) SAI d) SAI
Câu 3:
a) Sai.
Hình chóp đều 푆. có 푆 = 푆 = 푆 = 푆 và đáy là hình vuông.
Gọi là tâm hình vuông . Khi đó 푆 ⊥ ( ).
Điểm là trung điểm nên 푆 + 푆 = 2푆 .
Điểm là trung điểm nên 푆 + 푆 = 2푆 .
Do đó 푆 + 푆 = 푆 + 푆 .
b) Đúng.
 là trọng tâm tam giác 푆 nên 푆 + + = 3 .
 là trung điểm nên + = 2 .
Do đó 푆 + + = 3 ⇔ 푆 +2 = 3 ⇔ 푆 = ―2 +3 .
c) Đúng.
Ta có = = 8⇒ = = = = 4.
Tam giác 푆 vuông tại nên 푆 = 푆 2 ― 2 = (4 2)2 ― 42 = 4.
Nếu chọn hệ tọa độ sao cho là tâm hình vuông , thuộc tia , thuộc tia ,푆 thuộc tia 
 thì mặt phẳng (푆 ) là ( ).
Đồng thời ta có tọa độ các điểm (0;4;0), (0; ― 4;0), (4;0;0), ( ― 4;0;0),푆(0;0;4). Điểm ∈ (푆 )⇒ ( ;0; ).
 là trọng tâm tam giác 푆 nên 4 ; 4 ; 4 .
 3 3 3
 4
 = ⋅ 3
 3 =
 16
Đề thẳng hàng thì ―4 = ⋅ 4.
 , , = ⇒ 3 ⇔ = 1
 = ⋅ 4 = 1
 3
Vậy (1;0;1) hay + + = 2.
d) Sai.
Ta có mặt phẳng (푆 ) là mặt phẳng ( ).
퐹( , , ) ∈ (푆 ) thì 퐹(0; ; ) ⋅ 퐹 + 퐹 
Ta có điểm đối xứng với qua mặt phẳng ( ). Khi đó 퐹 = 퐹 .
Do đó 퐹 + 퐹 = 퐹 + 퐹 .
Theo bất đẳng thức tam giác ta có 퐹 + 퐹 ≥ . Để đấu " = " xảy ra thì 퐹, , thẳng hàng.
 4 16
 = ⋅ 1
 3 3 =
 4 4
Khi đó ― = ⋅ 4 .
 퐹 = ⇔ 3 3⇔ = ―1
 4 ― = ⋅ 4 = 1
 3 3
Vậy 퐹(0; ― 1;1) nèn + + = 0.
Câu 4. 
a) Đúng.
Với 푡 = 0 ta có ℎ(0) = 70log2 1 + 30 = 30 (con).
b) Đúng.
 3
Ta có 9 tháng bằng năm.
 4
Số lượng cá thể của loài động vật đó là: ℎ 3 = 70log (4) + 30 = 170 (con).
 4 2
c) Sai.
 7
 2 490
Ta có ℎ′(푡) = (푡 1) = .
 8푡 1 ⋅ln 2 (8푡 1)(푡 1)ln 2
 푡 1
Tốc độ tăng trưởng số lượng cá thể của loài động vật đó tại thời điểm đúng 6 năm là:
 10
ℎ′(6) = (cá thể/nãm). 
 7ln 2
d) Đúng.
 8푡 1 8푡 1
Ta có lim  ℎ(푡) = lim   70log2 + 30 = 70log2 lim   +30 = 70log2 8 + 30 = 240 
 → + ∞ → + ∞ 푡 1 → + ∞ 푡 1
(con).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trà lời từ câu 1 đến câu 6
Câu 1. 
Đáp án: 1201 푆 // 
+ 푆 ⊄( )⇒푆 //( )
 ⊂ ( )
Gọi là điểm đối xứng với qua .
 푆 // 
 푆 ⊂ ( )⇒푆 //( )
 ⊄( )
Mà 푆 ,푆 cắt nhau và cùng thuộc (푆 ).
⇒( )//(푆 ).
Mặt khác ⊂ ( ),푆 ⊂ (푆 ) nên (푆 ; ) = ((푆 );( )) (1)
 1 ( ;( )) 1
 cắt lằn lượt tại và 
+ ( ),(푆 ) , 푆 = 2⇒ ( ;(푆 )) = 2
⇒ ( ;( )) = ((푆 );( ))(2)
Từ (1) và (2), suy ra (푆 ; ) = ( ;( )).
- Ghép hệ trục tọa độ , với là tâm hình chữ nhật , tia đi qua trung điểm của , tia đi 
qua trung điểm của , tia đi qua 푆.
 (0;0;0), (4; ― 3;0), ( ― 4; ― 3;0).
 5
Tam giác 푆 vuông tại và 푆 = 45∘ nên 푆 = = ⇒푆 0;0; 5 .
 2 2
 là trung điểm của 푆 nên ―2; ― 3 ; 5 .
 2 2
 ―2; ― 3 ; 5 ,
 2 2
 (4; ― 3;0)⇒[ ; ] = 15 ;10;12 là một VTPT của ( ).
 2
 15
Mà di qua nèn .
 ( ) (0;0;0) ( ): 2 +10 +12 = 0
 15
 | 2 ⋅ ( ― 4) + 10 ⋅ ( ― 3) + 12.0| 120 120
 ⇒ ( ;( )) = = =
 15 2 1201 푛
 2 2
 2 + 10 + 12
⇒푛 = 1201.
Câu 2:
Đáp án: 33
Đa giác đều 36 đỉnh 1 2 36 nội tiếp đường tròn tầm . 3
- Chọn ngẫu nhiển 3 đỉnh trong số các đỉnh 1, 2,, 36 của đa giác đã cho thỉ số các chọn là 36
= 7140.
- Vì đa giác đều 36 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm nên mỗi cạnh là 1 dây của cung có số đo 10∘, góc nội 
 120
tiếp chẳn cung này có số đo ∘ nên góc cùa tam giác có số đo ∘ là góc nội tiếp thì sẽ chẳn 
 5 120 5 = 24
cung nhỏ liên tiếp này.
Để chọn được ba đỉnh tạo thành một tam giác có một góc bằng 120∘, ta thực hiện 2 bước:
 ∘
Bước 1: chọn 1 đỉnh ờ góc 120 , già sử 1, có 36 cách chọn.
 ∘
Bước 2: Chọn 2 đình 푛 và 푛+24 làm 2 đinh còn lại của tam giác, thì 푛 1 푛+24 = 120 , vói 
 푛 ≥ 2 푛 ≥ 2
 푛 + 24 ≤ 36⇔ 푛 ≤ 12⇔푛 ∈ {2;3;4;;12}⇒ có 11 cách chọn.
Theo quy tắc nhẩn, tổng số cách chọn 3 đinh để được tam giác có một góc 120∘ là 36.11 = 396.
 396 33 33
⇒푃 = = ⇒595푃 = 595 ⋅ = 33.
 7140 595 595
Câu 3:
Đáp án: 33
Đa giác đều 36 đỉnh 1 2 36 nội tiếp đường tròn tâm .
 3
- Chọn ngẫu nhiền 3 đỉnh trong số các đính 1, 2,, 36 của đa giác đã cho thì số các chọn là 36
= 7140.
- Vi đa giác đều 36 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm nên mỗi cạnh là 1 dây của cung có số đo 10∘, góc nội 
 120
tiếp chắn cung này có số đo ∘ nên góc của tam giác có số đo ∘ là góc nội tiếp thì sẽ chắn 
 5 120 5 = 24
cung nhỏ liên tiếp này.
Để chọn được ba đình tạo thành một tam giác có một góc bằng 120∘, ta thực hiện 2 bước:
 ∘
Bước 1: chọn 1 đỉnh ờ góc 120 , giả sử 1, có 36 cách chọn.
 ∘
Bước 2: Chọn 2 đỉnh 푛 và 푛+24 làm 2 đỉnh còn lại của tam giác, thì 푛 1 푛+24 = 120 , với 
 푛 ≥ 2 푛 ≥ 2
 푛 + 24 ≤ 36⇔ 푛 ≤ 12⇔푛 ∈ {2;3;4;;12}⇒ có 11 cách chọn.
Theo quy tắc nhẫn, tổng số cách chọn 3 đinh để được tam giác có một góc 120∘ là 36.11 = 396.
 396 33 33
⇒푃 = = ⇒595푃 = 595. = 33.
 7140 595 595
Câu 3:
Đáp án: 60