11 Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2021-2026 môn Toán SGD Nghệ An (Có đáp án)

 ĐỀ SỐ 1
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2026
 NGHỆ AN MÔN: TOÁN
 LẦN 1 Thời gian làm bài: ..... phút (Không kể thời gian giao đề)
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời tự câu 1 đến câu 12. Mỗi câu 
hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
 1
Câu 1. Tìm .
 = lim →0  1
 1
A. . B. . C. . D. .
 = 2 = 1 = +∞ = 0
Câu 2. Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình vẽ?
A. ( ) = 3 +3 +1. B. ( ) = ― 3 +3 ―1.
C. ( ) = ― 3 +3 +1. D. ( ) = 3 ―3 ―1.
Câu 3. Thống kê điểm thi tốt nghiệp môn Toán THPT năm 2024 của lớp 12D tại một trường THPT thu 
được kết quả như sau:
 Nhóm [3;4) [4;5) [5;6) [6;7) [7;8) [8;9) [9;10]
 Tần số 3 4 5 10 15 10 5
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu thống kê trên bằng
A. 10. B. 7. C. 6. D. 8.
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm (1;2;3). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của 
 lên trục .
A. (2;0;0) B. (3;0;0). C. (1;0;0). D. (1;0;3)
Câu 5. Cho hàm số = ( ) có bảng biến thiên như sau:
 ―∞ -1 3 +∞
 ′ + 0 - 0 +
 5 +∞
 ―∞ 1
Điểm cực tiểu của hàm số = ( ) là
A. = 1. B. = 3. C. = ―1. D. = 5.
Câu 6. Cho hàm số = ― 3 +3 ―2 có đồ thị như hình vẽ.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho là A. 퐽(0; ― 2). B. (0;0). C. ( ― 2;0). D. 퐾(0;2).
Câu 7. Cho hình hộp ⋅ ′ ′ ′ ′. Xét phép chiếu song song theo phương ′ lên mặt phẳng ( 
 ). Ảnh của đoạn thẳng ′ ′ qua phép chiếu song song đó là
A. đoạn thẳng ′ . B. đoạn thẳng . C. đoạn thẳng . D. đoạn thẳng .
Câu 8. Trong các dãy số có số hạng tổng quát dưới đây, dãy số nào là dãy số tăng?
 1 1
A. . B. . C. . D. .
 3푛 푛 +1 1 + 푛 6 ― 2푛
Câu 9. Tập nghiệm của bất phương trình log2 ( ―1) > 3 là
A. (1; + ∞). B. (1;9). C. (9; + ∞). D. ( ― ∞;9).
Câu 10. Cho hình lập phương ⋅ ′ ′ ′ ′ có cạnh bằng 1. Tích vô hướng của hai vec tơ ′ và ′ 
bằng
A. 0. B. -1. C. 2. D. 1. Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ , phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của 
một mặt phẳng?
 2 1 
A. . B. .
 2 = 2 = 1 ―1 = 0
 2 1 3
C. 2 2 2 . D. .
 + + ―4 = 0 + ― = 0
Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ , cho = ―3푖 +5푗 + . Độ dài của là
A. 17. B. 35. C. 17. D. 35.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ơ 
mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Một hợp tác xã (viết tắt là HTX) nông nghiệp tại Nghệ An đầu tư dự án trồng dưa lưới nhà màng 
VietGAP. Xét trong một vụ canh tác, với diện tích (nghìn 2, ≥ 1), tổng chi phí là ( ) = 2 +30 
+100 (triệu đồng). Tổng doanh thu dự kiến là 푅( ) = 2 +100 (triệu đồng).
a) Hàm số lợi nhuận của HTX sau một vụ canh tác là 퐿( ) = 70 ―100 (triệu đồng).
b) Nếu HTX muốn đạt mức lợi nhuận là 250 triệu đồng cho một vụ thì diện tích canh tác cần thiết là 5 
nghìn 2.
 ( )
c) Chi phí trung bình trên mỗi đơn vị diện tích được định nghĩa là . Khi diện tích canh tác 
 푃( ) = 
tăng từ 1 nghìn 2 đến 11 nghìn 2 thì chi phí trung bình luôn giảm.
 퐿( )
d) Để đồng vốn đầu tư đạt hiệu quả cao nhất (tỉ lệ lợi nhuận trên tổng chi phí 푄( ) = ( ) đạt giá trị lớn 
nhất), HTX cần tính toán để chi phí trung bình trên mỗi đơn vị diện tích 푃( ) đạt mức thấp nhất.
 1
Câu 2. Cho hàm số có đồ thị là đường cong (C).
 = ― ― 1
a) Đường thẳng = 1 là tiệm cận đứng của đường cong (C).
 2 2 
b) ′ .
 ( ) = 1 ,∀ ≠ 1
c) Điểm cực đại của hàm số là (2;3).
d) Đường cong (C) có dạng như hình vẽ:
Câu 3. Trong một mô hình nông nghiệp công nghệ cao, một tấm pin năng lượng mặt trời phẳng được lắp 
đặt nghiêng sao cho bề mặt của nó nằm trên mặt phẳng (푃):2 +2 + ―6 = 0 (xét trong hệ không gian tọa độ với đơn vị đo là mét, mặt phẳng ( ) được xem là mặt đất phẳng). Người ta lắp đặt một 
robot cố định ở trên cao để kiểm tra bụi bẩn. Robot có mắt phát tia laser tại điểm 푆(1;1;6). Robot thực 
hiện quét tia laser trên bề mặt tấm pin. Tại một thời điểm tia laser được chiếu theo đường thẳng Δ có 
vectơ chỉ phương = (1; ― 2; ― 2) và chạm vào bề mặt tấm pin tại điểm .
 4
a) Khoảng cách từ mắt phát tia laser đến mặt phẳng bằng mét.
 푆 (푃) 3
b) Điểm có tọa độ là (1;1;2).
 4
c) Góc hợp bởi tia laser và mặt phẳng ( ) thỏa mãn hệ thức .
 훼 Δ 푃 sin 훼 = 9
d) Khi vệ sinh, nước được phun trúng điểm chạm của tia laser trên tấm pin sẽ tạo thành dòng nước chảy 
trên bề mặt pin xuống đất theo hướng dốc nhất, quỹ đạo chảy của dòng nước nằm trên một đường thẳng. 
Đường thẳng đó có một vectơ chỉ phương là 푣 = (1;1;3).
Câu 4. Để tuyển chọn thành viên cho Câu lạc bộ Toán - Tin, nhà trường tổ chức một bài thi đánh giá 
năng lực (thang điểm 100) cho 100 học sinh. Kết quả điểm thi được thống kê trong bảng số liệu ghép 
nhóm gồm 6 nhóm như sau:
 Điểm số [40;50) [50;60) [60;70) [70;80) [80;90) [90;100)
 Số học sinh 10 15 25 30 15 5
An và Bình là hai học sinh tham gia thi, đạt số điểm lần lượt là 82 điểm và 69,5 điểm. Ban chủ nhiệm 
Câu lạc bộ đưa ra quy định phân loại dựa trên các chỉ số thống kê của toàn bộ mẫu số liệu như sau:
Xếp loại "xuất sắc": Điểm số lớn hơn hoặc bằng tứ phân vị thứ ba.
Xếp loại "tiềm năng": Điểm số từ mức điểm trung vị đến dưới tứ phân vị thứ ba.
Xếp loại "chưa đạt": Điểm số dưới mức điểm trung vị.
Một điều hết sức thú vị là không có học sinh nào có điểm số bằng một trong ba giá trị tứ phân vị.
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm này là 60.
b) Điểm trung vị của 100 học sinh tham gia kỳ thi là 71 điểm.
c) Mặc dù Bình xếp loại chưa đạt, nhưng điểm số của Bình vẫn cao hơn mức điểm trung bình.
d) Để đánh giá chất lượng đề thi, ban tổ chức chọn ngẫu nhiên 4 học sinh tham gia kỳ thi để phỏng vấn. 
Xác suất để nhóm 4 học sinh được chọn có đầy đủ đại diện của cả 3 nhóm xếp loại và luôn có mặt An là 
 275
 .
14259
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời tì̛ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Một kiến trúc sư thiết kế một hồ bơi vô cực có mặt trên của bể bơi nằm trong mặt phẳng (đơn 
vị trục là mét). Một cạnh của hồ bơi dài 12 nằm trên trục ; hai cạnh bên lần lượt nằm trên trục và 1 2
đường thẳng ; cạnh còn lại (mặt vô cực) là một phần đồ thị của hàm số 2 . Đáy 
 = 12 = ― 18 + 3 +4
 1
hồ bơi không phẳng mà độ sâu tại điểm được tính theo công thức (mét). Thể tích 
 ( ; ) ℎ( ) = 4 +1
nước tối đa mà hồ bơi có thể chứa là bao nhiêu 3?
Câu 2. Một nhân viên cứu hộ đứng ở mặt đất, điều khiển một drone chở vật tư y tế, dự kiến bay thẳng từ 
đỉnh của tháp thứ nhất đến đỉnh của tháp thứ hai. Tuy nhiên, do gặp một một khu vực nhiễu sóng an 
ninh, nên drone phải bay thẳng từ đến một điểm 푃 trên mặt đất để hạ cánh. Nhân viên đó mang drone từ 
điểm 푃 dọc theo hướng Tây 40 m đến điểm 푄 và sau đó drone bay thẳng từ 푄 lên đỉnh của tháp thứ hai 
(Hình vẽ). Biết đỉnh cao 100 m và có hình chiếu lên mặt đất cách vị trí người đứng ban đầu 200 m về 
phía Đông và 100 m về phía Nam. Đỉnh cao 300 m và có hình chiếu lên mặt đất cách vị trí người đứng 
ban đầu 140 m về phía Tây và 200 m về phía Nam. Chọn hệ trục tọa độ có gốc tại vị trí người đứng ban đầu, mặt phẳng ( ) là mặt đất, trục 
hướng Đông, trục hướng Nam và trục hướng thẳng đứng lên trên (đơn vị trên các trục là 100 m). 
Để hoàn thành nhiệm vụ, người đó chọn vị trí điểm 푃( ; ; ) trên mặt đất sao cho tổng quãng đường bay 
là ngắn nhất. Tính giá trị của biểu thức 푆 = 2 +4 + .
Câu 3. Một doanh nghiệp phân bổ ngân sách quảng cáo trên Facebook và Google với tổng số tiền không 
vượt quá 80 triệu. Chi phí cho Facebook nằm trong khoảng từ 20 đến 50 triệu. Chi phí cho Google tối 
thiểu là 15 triệu. Số tiền chi cho chạy quảng cáo trên Google không được vượt quá chi phí chi cho quảng 
cáo trên Facebook. Biết rằng số khách tiếp cận là 4 nghìn khách cho mỗi triệu tiền chi quảng cáo trên 
Facebook và 6 nghìn khách cho mỗi triệu quảng cáo trên Google. Hỏi lượng khách tiếp cận lớn nhất là 
bao nhiêu nghìn?
Câu 4. Cho hình chóp 푆. có là hình vuông cạnh bằng 4. Tam giác 푆 cân tại 푆, có diện 
tích bằng 6 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính côsin của góc nhị diện [푆; ; ] 
(làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Câu 5. Nồng độ thuốc (mg/ml) trong máu của một bệnh nhân sau 푡 giờ tiêm vào tĩnh mạch được xác 
 푡
định bởi công thức (푡) = 푡2 4, với là hằng số dương. Đạo hàm của (푡) được gọi là tốc độ thay đổi 
tức thời của nồng độ thuốc tại thời điểm 푡. Biết rằng nồng độ thuốc đạt giá trị lớn nhất là 0,5mg/ml. Một 
bác sĩ muốn tính tốc độ thay đổi tức thời của nồng độ thuốc tại thời điểm 푡 = 4 giờ để quyết định liều 
tiêm tiếp theo. Tính giá trị tuyệt đối của tốc độ này (đơn vị: mg/ml/h).
Câu 6. Một khóa mã số sử dụng mật khẩu là một dãy gồm 5 chữ số phân biệt từ 1 đến 9. Một mật khẩu 
được gọi là mạnh nếu nó thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
i) Không có hai chữ số lẻ nào đứng cạnh nhau.
ii) Chữ số đứng sau luôn lớn hơn chữ số đứng trước hoặc luôn nhỏ hơn chữ số đứng trước.
Chọn ngẫu nhiên một mật khẩu. Xác suất để chọn được mật khẩu mạnh bằng ⋅ 10―3. Tính giá trị của 
(làm tròn kết quả đến hàng phần mười). ĐÁP ÁN
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
 Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
 Đ/A B C B C B A D B C B B D
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai.
 Ý
 a b c d
 Câu
 1 Đ Đ S S
 2 Đ S S S
 3 Đ S Đ S
 4 Đ S Đ Đ
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
 Câu 1 2 3 4 5 6
 Đ/A 160 7,5 400 -0,4 0,06 8,2
 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Trong mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án
Câu 1. 
 1 1
 = lim  = = 1
 →0 + 1 0 + 1
Câu 3. Khoảng biến thiên 푅 = 10 ― 3 = 7
Câu 7. Ảnh của đoạn thẳng ′ ′ qua phép chiếu song song đó là đoạn thẳng .
Câu 8. Xét 푛+1 ― 푛 = (푛 +1) + 1 ― (푛 +1) = 1 > 0 nên dãy 푛 = 푛 +1 là dãy số tăng.
 ― 1 > 0
Câu 9. log2 ( ―1) > 3⇔ ― 1 > 8⇔ ― 1 > 8⇔ > 9 Câu 10. 
 ′ ⋅ ′ = ―1 (Hai vectơ ngược hướng, có cùng độ dài bằng 1).
Câu 12. 
 = ―3푖 + 5푗 + suy ra ― 3;5;1
 | | = ― 32 + 52 + 1 = 35
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý (a), (b), (c), 
(d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. 
(a) Đúng.
Hàm số lợi nhuận của HTX sau một vụ canh tác là:
퐿( ) = 푅( ) ― ( ) = ( 2 + 100 ) ― ( 2 + 30 + 100) = 70 ―100 (triệu đồng).
(b) Đúng
Với diện tích canh tác là 5 nghìn 2 HTX đạt mức lợi nhuận là 퐿(5) = 70.5 ― 100 = 250 ( triệu đồng)
(c) Sai. ( )
Chi phí trung bình trên mỗi đơn vị diện tích được định nghĩa là .
 푃( ) = 
 2
Suy ra 30 100
 푃( ) = 
Đk: ≠ 0
 (2 + 30) ― ( 2 + 30 + 100) 2 ― 100
푃′( ) = =
 2 2
 Bảng biên thiên
 = ―10
 푃′( ) = 0⇔ = 10
 1 10 +∞
 푃′( ) - 0 +
 푃( )
 50
Từ bảng biến thiên ta thấy: Nếu diện tích canh tác tăng từ 1 nghìn 2 đến 10 nghìn 2 thì chi phí trung 
bình sẽ sẽ giảm và diện tích canh tác tăng từ 10 nghìn 2 thì chi phí trung bình sẽ tăng nên nếu diện tích 
canh tác tăng từ 1 nghìn 2 đến 11 nghìn 2 thì chi phí trung bình giảm là sai
(d) Sai.
 70 100
Xét hàm 
 푄( ) = 2 30 100
 ≠ ―15 ― 5 5
Đ k:
 ≠ ―15 + 5 5
 70( 2 + 30 + 100) ― (2 + 30)(70 ― 100) ―70 2 + 200 + 3000
푄′( ) = =
 2 + 30 + 100 ( 2 + 30 + 100)2
 10 ― 10 22
 = < 0 Bảng biên thiên
 푄′( ) = 0⇔ 7
 10 + 10 22
 =
 7
 1 10 + 10 22 +∞
 7
 푄′( ) - 0 +
 푄( )
 퐿( )
Từ bảng biến thiên ta có tỉ lệ lợi nhuận trên tổng chi phí 푄( ) = đạt giá trị lớn nhất khi = 10 10 22
 ( ) 7
≈ 8.13 khi đó chi phí trung bình trên mỗi đơn vị diện tích 푃( ) không đạt mức thấp nhất. Vì 푃( ) đạt 
mức thấp nhất khi = 10.
Câu 2. 
(a) Đúng
Do lim →1+  ( ) = ―∞ nên đường thẳng = 1 là tiệm cận đứng của đường cong (C).
(b) Sai 1 2 2 
 ′
Đạo hàm của hàm số ( ) là ( ) = ―1 + ( 1)2 = ( 1)2 ,∀ ≠ 1.
(c) Sai
Ta có bảng biến thiên
 ―∞ 0 1 2 +∞
 ′ - 0 + + 0 -
 ―∞ +∞ -3
 1 ―∞ ―∞
Điểm cực đại của đồ thị hàm số là (2; ― 3).
(d) Sai
Dựa vào tiệm cận xiên = ― của đồ thị hàm số hoặc dấu khoảng ngoài cùng bên phải đạo hàm của 
hàm số, ta đều có thể dễ dàng đi đến kết luận ý (d) là sai.
Câu 3. 
(a) Đúng
 |2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 + 6 ― 6| 4
 (푆;(푃)) = = (b) Sai
 22 + 22 + 1 3
 = 1 + 푡
Phương trình đường thẳng Λ là = 1 ― 2푡.
 = 6 ― 2푡
 = 1 + 푡 = 2
 = 1 ― 2푡 = ―1
 = Δ ∩ (푃)⇒ toạ độ điểm ( ; ; ) thoả hệ: = 6 ― 2푡 ⇔ = 4
 2 + 2 + ― 6 = 0 푡 = 1
Vậy tọa độ của là (2; ― 1;4)
(c) Đúng
( Δ) có vectơ chỉ phương là = (1; ― 2; ― 2).
(푃) có vectơ pháp tuyến là 푛 = (2;2;1).
 |푛 ⋅ | |1 ⋅ 2 + ( ― 2) ⋅ 2 + ( ― 2) ⋅ 1| 4
Sin(Δ,(푃)) = = = (d) Sai
 |푛| ⋅ | | 12 + ( ― 2)2 + ( ― 2)2 ⋅ 22 + 22 + 12 9
Gọi ( ) là giao tuyến của mặt phẳng ( 푃) với mặt phẳng , là hình chiếu của 
Lên đường thẳng ( ), là hình chiếu của lên mặt phẳng và K là điểm bất kỳ trên đưởng thẳng ( )
.
Ta có in 
 ≤ 퐾⇒ 퐾 ≤ ⇒푠 퐾 ≤ sin 
⇒ 퐾 ≤ 
Như vậy, trong vô số các đuòưng thẳng nằm trong mặt phẳng (푃) đi qua thì tạo với mặt phẳng 
 một góc lớn nhất. Nghĩa là đường thẳng tạo với mặt đất độ dốc lớn nhất. Ta cần tìm vectơ chỉ 
phương của .
Vectơ đơn vị của trục chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng : = (0;0;1)
(푃) có vectơ pháp tuyến là 푛 = (2;2;1). Vectơ chỉ phương của đường thẳng ( ) là = [ ,푛] = ( ― 2;2;0).
Vectơ chỉ phương của là = ,푛 = (2;2; ― 8) = 2(1;1; ― 4)
Câu 4. 
(a) Đúng
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là 푅 = 100 ― 40 = 60.
(b) Sai
Có 100 học sinh tham gia
 50 25
Ta có 
 푒 = 푄2 ∈ [60;70)⇒푄2 = 60 + 25 ⋅ 10 = 70
(c) Đúng
Số trung bình của mẫu số liệu trên là
 45.10 55.15 65.25 75.30 85.15 95.5
 .
 = 100 = 69
Mặc dù Bình xếp loại chưa đạt, nhưng điểm số của Bình vẫn cao hơn mức điểm trung bình.
(d) Đúng
Ta có 푄3 ∈ [70;80)
 75 ― 50
푄3 = 70 + ⋅ 10 = 78,3
 30 Gọi biến cố là: " 4 học sinh được chọn có đầy đủ đại diện của cả 3 
 4
 푛(Ω) = 100
nhóm xếp loại và luôn có mặt An"
 1 1 1 2 1 1 2
 1 1 1 2 1 1 2 푛( ) 50⋅ 25⋅ 24 50⋅ 25 50⋅ 25 275
푛( ) = 50 ⋅ 25 ⋅ 24 + 50 ⋅ 25 + 50 ⋅ 25Vậy 푃( ) = = 4 =
 푛(Ω) 100 14259
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Đáp án: 160.
Lời giải
Thiết diện mặt cắt ngang tại điểm (0 ≤ ≤ 12) vuông góc với trục là một hình chữ nhật có một 
 1 2 1
cạnh là chiều rộng của hồ: 2 và cạnh còn lại là độ sâu của hồ: . 
 = ( ) = ― 18 + 3 +4 ℎ( ) = 4 +1
Do đó, diện tích thiết diện mặt cắt ngang tại vị trí (0 ≤ ≤ 12) là:
 1 2 1
푆( ) = ( ) ⋅ ℎ( ) = ― 2 + + 4 + 1 Suy ra, thể tích tối đa của hồ bơi là: = ∫12 푆( ) 
 18 3 4 0
= ∫12  ― 1 2 + 2 + 4 1 + 1 = 160( 3).
 0 18 3 4
Câu 2. Đáp án: 7,5
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ có gốc tại vị trí người đứng ban đầu, mặt phẳng ( ) là mặt đất, trục 
hướng Đông, trục hướng Nam và trục hướng thẳng đứng lên trên (đơn vị trên các trục là 100 m).
Ta có: (2;1;1), ( ― 1,4;2;3) và 푃푄( ― 0,4;0;0).
Bài toán trở thành: Tìm 푃 ∈ ( ) sao cho 푃 + 푄 nhỏ nhất.