Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2025-2026 môn Toán SGD Quảng Ninh (Có đáp án)

 ĐỀ SỐ 1
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2026
 QUẢNG NINH MÔN: TOÁN 
 Thời gian làm bài: ..... phút (Không kể thời gian giao đề)
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Nghiệm của phương trình log3 x 1 2 là
 A. x 6 . B. x 5 . C. x 8 . D. x 10 .
Câu 2. Cho hàm số y f (x) liên tục trên ¡ và có bảng xét dấu của f (x) như sau:
 Số điểm cực đại của hàm số y f (x) là
 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy là 2 và tam giác SAC đều. Độ dài cạnh 
bên của hình chóp đã cho bằng
 A. 2 . B. 2 . C. 1. D. 3 .
Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt phẳng đi qua M (1;2; 4) và vuông góc với trục Oz 
có phương trình là
 A. x 2y 4z 21 0 . B. z 4 .
 C. z 4 . D. x 2y 4z 21 0 .
Câu 5. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có tất cả các cạnh bằng 1. Góc tạo bởi đường thẳng A C và 
mặt phẳng ABC bằng
 A. 45. B. 90 . C. 60 . D. 30 .
Câu 6. Tập giá trị của hàm số y 3cos 2x là
 A. T  6;6 B. T  3;3 C. T ¡ D. T  2;2
 1
Câu 7. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) x là
 x2
 1 1 1 1 1 1
 A. x2 C . B. 1 C . C. x C . D. x2 C .
 2 x x x 2 x
Câu 8. Cho cấp số nhân un với u1 2 và u5 162 . Giá trị của công bội q bằng
 1 1
 A. q . B. q 3. C. q 3 D. q .
 3 3
Câu 9. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A 1;1;2 , B 3;2; 3 . Phương trình mặt 
cầu S có tâm A và đi qua điểm B là
 2 2 2 2 2 2
 A. x 1 y 1 z 2 30 . B. x 1 y 1 z 2 30. 2 2 2 2 2 2
 C. x 1 y 1 z 2 30 . D. x 1 y 1 z 2 30 .
Câu 10. Doanh thu bán hàng trong 20 ngày của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu 
đồng):
 Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau?
 A. 13. B. 12. C. 11. D. 10.
Câu 11. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x a; x b với 
a b , thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục O x tại điểm có hoành độ 
x a x b là một hình phẳng có diện tích bằng S x , S x là một hàm liên tục trên [a;b] . Thể tích vật 
thể được tính bằng công thức
 b b b b
 2 2
 A. S x dx . B. S x dx . C. S x dx . D. S x dx .
 a a a a
 uuur uuur
Câu 12. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Tổng AB DC bằng
 r uuur uuur uuur
 A. 0. B. 2NM . C. 2AD . D. 2MN .
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng 
hoặc sai.
Câu 1. Trong một cuộc thi Olympic môn Toán dành cho học sinh THPT, trường THPT A có 51 học sinh 
và trường THPT B có 24 học sinh tham dự. Giả sử xác suất giành huy chương vàng của mỗi học sinh của 
trường A và B lần lượt là 0,08 và 0,06 . Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong số các học sinh tham dự.
 17
 a) Xác suất để học sinh được chọn thuộc trường A là .
 25
 b) Biết rằng học sinh được chọn thuộc trường B, xác suất để học sinh đó không giành được huy 
chương vàng là 0,92.
 48
 c) Xác suất để học sinh được chọn giành huy chương vàng là .
 625
 d) Biết rằng học sinh được chọn giành huy chương vàng, xác suất để học sinh đó thuộc trường A là 
17
 .
23
Câu 2. Bút viết của một bảng vẽ điện tử được để trong một chiếc giá là một khối tròn xoay có mặt cắt qua 
trục là một hình phẳng có hình dạng và các kích thước gắn với hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ dưới đây: Biết biên của mặt cắt gồm hai nửa đường tròn đường kính AB , CD và một cung của parabol đỉnh O , 
nhận Ox là trục đối xứng; cho AB CD 3cm , OI 1cm , AD 3cm , MN 2cm , đơn vị trên hệ trục là 1 
cm.
 1
 a) Phương trình của parabol là y2 x .
 2
 b) Diện tích mặt cắt (làm tròn tới hàng đơn vị) là 14cm2 .
 2 1
 c) Thể tích phần lõm của giá để bút được tính bằng công thức xdx .
 0 2
 d) Thể tích của toàn bộ giá để bút (làm tròn tới hàng phần chục) bằng 65,4cm3 .
Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A 2;0;0 , B 0; 2;0 ,C 0;0; 2 . 
Điểm D khác gốc tọa độ sao cho DA, DB, DC đôi một vuông góc.
 x y z
 a) Mặt phẳng ABC có phương trình 1.
 2 2 2
 1
 b) Cosin góc giữa hai mặt phẳng ABC và Oxy bằng .
 3
 4 4 4 
 c) Tọa độ điểm D là ; ; .
 3 3 3 
 d) Gọi I a;b;c là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD , ta có a b c 1.
 ax2 bx c
Câu 4. Cho hàm số y có đồ thị như hình vẽ:
 x d a) Hàm số đã cho đồng biến trên ¡ .
 b) Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng y x 2 .
 c) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn  2;1 là 5.
 d) Các hệ số a,b,c,d thỏa mãn a2 b2 c2 d 2 30 .
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 6;0;4 , B 3; 2;1 và mặt phẳng 
 P : x y 5z 1 0. Biết M là điểm thuộc mặt phẳng P sao cho MA MB đạt giá trị nhỏ nhất, tính độ 
dài đoạn OM (không làm tròn các bước trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng tới hàng phần trăm).
Câu 2. Mô hình EOQ (Economic Order Quantity) được công bố năm 1913 là một công cụ quản trị vận 
hành dùng để xác định lượng hàng nhập kho tối ưu. Giả sử một cửa hàng thức ăn cho mèo có nhu cầu tiêu 
thụ hàng hóa đều đặn với tốc độ bán hàng d 100 hộp/ ngày. Các thông số chi phí được xác định như 
sau:
 K 1.000.000 đồng: chi phí cố định cho mỗi lần đặt hàng (phí vận chuyển, nhân công);
 c đồng/ hộp: giá nhập mỗi hộp hàng (giả định không đổi và không có chiết khấu);
 h 500 đồng/hộp/ngày: đơn giá lưu kho (chi phí lưu giữ một hộp hàng trong kho trong một ngày).
 Gọi Q (hộp) là số lượng hàng mà người bán nhập vào trong mỗi lần đặt hàng. Thời gian tiêu thụ hết 
 Q hQ2
lượng hàng là (ngày). Tổng chi phí cho một chu kỳ đặt hàng và tiêu thụ hết hàng là f K cQ . 
 d 2d
Hỏi cửa hàng nên nhập bao nhiêu hộp trong mỗi lần đặt hàng để chi phí trung bình mỗi ngày là nhỏ nhất 
(không làm tròn các bước trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng tới hàng đơn vị)?
Câu 3. Trong âm nhạc, một quãng tám (octave) là khoảng cách âm thanh từ nốt Đô tới nốt Đô tiếp theo, 
theo thứ tự từ thấp đến cao là:
 Đô – Đô# – Rê – Rê# – Mi (E4) – Pha – Pha# – Sol – Sol# – La (A4) – La# – Si – Đô trong đó khoảng cách giữa hai nốt liên tiếp gọi là một nửa cung (semitone). Hai nốt cách nhau n nửa 
 n
 fnc 12
cung thì tỷ lệ tần số nốt cao fnc và tần số nốt thấp fnt là 2 ; cho biết tần số chuẩn của nốt La (A4) là 
 fnt
440 Hz. Trên đàn guitar, dây số 1 là nốt Mi (E4) đang bị chùng do thời tiết, tần số đo được hiện tại đang 
là 300 Hz. Để căng lại dây đàn cho chuẩn, ta dùng núm xoay, và cứ vặn núm xoay 90 thì nốt nhạc được 
tăng lên một nửa cung. Hỏi phải xoay núm của dây số 1 một góc bao nhiêu độ để dây số 1 trở về âm 
chuẩn (không làm tròn các bước trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng tới hàng đơn vị)?
Câu 4. Trong một cuộc thi, có 7 thí sinh đã được xếp ngồi cố định quanh một bàn tròn và giám thị có 3 
mã đề khác nhau (giả sử số lượng đề thi của mỗi mã là nhiều tùy ý). Hỏi có bao nhiêu cách phát đề cho 
các thí sinh, mỗi thí sinh 1 đề sao cho hai thí sinh ngồi cạnh nhau thì khác mã đề?
Câu 5. Vệ tinh Van Allen Probes được phóng lên không gian để nghiên cứu các vành đai bức xạ bao 
quanh Trái Đất. Vệ tinh này bay theo một quỹ đạo có chu kỳ 10 giờ - nghĩa là mỗi vòng bay quanh Trái 
Đất kéo dài đúng 10 giờ. Cứ mỗi vòng bay, vệ tinh lại xuyên qua vùng bức xạ mạnh và tích lũy thêm liều 
bức xạ. Biết rằng đơn vị của bức xạ là Gray (Gy), và khi tổng liều bức xạ chiếu vào vệ tinh đạt 1000 
Gray, thì vệ tinh hỏng hoàn toàn. Khoảng cách từ tâm Trái Đất đến vệ tinh được mô hình hóa bằng hàm 
số R T 7000 3000T (km), trong đó T là thời gian tính bằng giờ, 0 T 10 , kể từ đầu vòng bay. Công 
thức suất liều bức xạ - tức là lượng bức xạ vệ tinh nhận được trong 1 giờ, phụ thuộc vào khoảng cách 
 2
 R 
R (km) từ vệ tinh tới tâm Trái Đất, là D R 60. milliGray/giờ. Biết rằng do tính đối xứng và 
 25000 
chu kỳ của quỹ đạo bay, tổng liều bức xạ vệ tinh nhận được trong một vòng bay 10 giờ được tính bằng 
 5
công thức L 2. D R T dT , và 1 Gray 1000 milliGray. Tính số năm hoạt động của vệ tinh từ lúc bắt 
 0
đầu hoạt động tới khi hỏng hoàn toàn (không làm tròn các bước trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối 
cùng tới hai chữ số thập phân sau dấu phẩy, coi một năm có 365 ngày, mỗi ngày có 24 giờ).
Câu 6. Cho hình lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2, hình chiếu của A trên 
 ABC trùng với trung điểm M của AB ; góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 . Gọi N là trung điểm 
của CC . Tính khoảng cách từ B tới mặt phẳng A MN (không làm tròn các bước trung gian, chỉ làm 
tròn kết quả cuối cùng tới hàng phần trăm).
 ---------------------HẾT---------------------
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu;
- Giám thị không giải thích gì thêm. ĐÁP ÁN
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
 C B A B A B A B A C D D
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng 
hoặc sai.
 13 14 15 16
 Đ-S-S-Đ Đ-S-Đ-S Đ-Đ-S-Đ S-Đ-S-Đ
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
 17 18 19 20 21 22
 3,48 632 147 126 5,19 1,92
 Hướng dẫn giải chi tiết
PHẦN I. Trắc nghiệm 4 phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí 
sinh trả lời một phương án.
Câu 1: Nghiệm của phương trình log3 ( +1) = 2 là
A. x=6.
B. x=5.
C. x=8.
D. x=10.
Lời giải
Điều kiện: +1 > 0⇔ > ―1.
Ta có: log3 ( +1) = 2⇔ +1 = 9⇔ = 8 ( nhận).
Câu 2: Cho hàm số = ( ) liên tục trên ℝ và có bảng xét dấu của ′( ) như sau:
 ―∞ -1 0 1 2 +∞
 ′( ) + 0 - 0 + - 0 -
Số điểm cực đại của hàm số = ( ) là
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Lời giải
Qua bảng xét dấu của hàm số = ( ) ta thấy số điểm cực đại của hàm số = ( ) là 2 .
Câu 3: Cho hình chóp tứ giác đều 푆 ⋅ có độ dài cạnh đáy là 2 và tam giác 푆 đều. Độ dài cạnh 
bên của hình chóp đã cho bằng
A. 2 . B. 2.
C.1.
D. 3.
Lời giải
Ta có: = 2 + 2 = 2. Tam giác 푆 đều nên 푆 = 푆 = = 2.
Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ , mặt phẳng đi qua (1;2; ― 4) và vuông góc với trục 
 có phương trình là
A. +2 ―4 ―21 = 0.
B. = ―4.
C. = 4.
D. +2 +4 ―21 = 0.
Lời giải
Mặt phẳng (푃) đi qua (1;2; ― 4) và vuông góc với trục có VTPT: 푛 = = (0;0;1).
Phương trình mặt phẳng (푃): +4 = 0⇔ = ―4.
Câu 5: Cho hình lăng trụ đứng ⋅ ′ ′ ′ có tất cả các cạnh bằng 1. Góc tạo bởi đường thẳng ′ và 
mặt phẳng ( ) bằng
A. 45∘.
B. 90∘.
C. 60∘.
D. 30∘.
Lời giải
Vì hình lăng trụ ⋅ ′ ′ ′ là lăng trụ đứng nên ′ vuông góc với ( ). Do đó góc giữa đường 
thẳng ′ và mặt phẳng ( ) bằng ′ . Do tam giác ′ vuông cân tại nên góc tạo bởi đường 
thẳng ′ và mặt phẳng ( ) bằng 45∘.
Câu 6: Tập giá trị của hàm số = 3cos 2 là
A. = [ ― 6;6]
B. = [ ― 3;3]
C. = ℝ
D. = [ ― 2;2]
Lời giải Vì ―1 ≤ cos 2 ≤ 1 nên ―3 ≤ 3cos 2 ≤ 3. Vậy tập giá trị của hàm số = 3cos 2 là = [ ― 3;3].
 1
Câu 7: Họ nguyên hàm của hàm số là
 ( ) = ― 2
 1 1
A. 2 .
 2 + ― 
 1
B. .
 1 + + 
 1
C. .
 + + 
 1 1
D. 2 .
 2 ― + 
Lời giải
 1 2 1
Ta có ∫ ― 1 = ∫ ―∫ = + ― 
 2 2 2 
Câu 8: Cho cấp số nhân ( 푛) với 1 = 2 và 5 = 162. Giá trị của công bội 푞 bằng
 1
A. .
 푞 = 3
B. 푞 =± 3.
C. 푞 = 3
 1
D. .
 푞 =± 3
Lời giải
 4 4 4
Ta có 5 = 1 ⋅ 푞 ⇔162 = 2 ⋅ 푞 ⇔푞 = 81⇔푞 =± 3
Câu 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho các điểm (1;1;2), (3;2; ― 3). Phương trình mặt 
cầu ( 푆 ) có tâm và đi qua điểm là
A. ( ―1)2 +( ―1)2 +( ―2)2 = 30.
B. ( +1)2 +( +1)2 +( +2)2 = 30.
C. ( ―1)2 +( ―1)2 +( ―2)2 = 30.
D. ( +1)2 +( +1)2 +( +2)2 = 30.
Lời giải
Mặt cầu ( 푆 ) có tâm và đi qua điểm có bán kính 푅 = = 30, nên phương trình mặt cầu là: 
( ―1)2 +( ―1)2 +( ―2)2 = 30.
Câu 10: Doanh thu bán hàng trong 20 ngày của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu 
đồng):
 Doanh thu [5;7) [7;9) [9;11) [11;13) [13;15)
 Số ngày 2 7 7 3 1
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau?
A. 13 .
B. 12 .
C. 11.
D. 10 .
Lời giải 3푛
Ta có: nên .
 푛 = 20, 4 = 15 푄3 ∈ [9;11)
 3.20 (2 7) 75
푄3 = 9 + 4 .(11 ― 9) = .
 7 7
Câu 11: Trong không gian với hệ trục tọa độ , một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng = ; = với 
 < , thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành
độ ( ≤ ≤ ) là một hình phẳng có diện tích bằng 푆( ),푆( ) là một hàm liên tục trên [ ; ]. Thể tích 
vật thể được tính bằng công thức
A. ∫  푆( )d .
 2
B. ∫  (푆( )) d .
 2
C. ∫  (푆( )) d .
D. ∫  푆( )d .
Câu 12: Cho tứ diện . Gọi , lần lượt là trung điểm của và . Tổng + bằng
A. 0.
B. 2 .
C. 2 .
D. 2 .
Lời giải
 + = ( + + ) + ( + + ) = ( + ) + ( + ) + 2 = 2 
PHẦN II. Trắc nghiệm chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) 
ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Trong một cuộc thi Olympic môn Toán dành cho học sinh THPT, trường THPT A có 51 học sinh 
và trường THPT B có 24 học sinh tham dự. Giả sử xác suất giành huy chương vàng của mỗi học sinh của 
trường A và B lần lượt là 0,08 và 0,06 . Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong số các học sinh tham dự.
 17
a) Xác suất để học sinh được chọn thuộc trường A là .
 25
b) Biết rằng học sinh được chọn thuộc trường B , xác suất để học sinh đó không giành được huy chương 
vàng là 0,92 .
 48
c) Xác suất để học sinh được chọn giành huy chương vàng là .
 625
 17
d) Biết rằng học sinh được chọn giành huy chương vàng, xác suất để học sinh đó thuộc trường A là .
 23
Lời giải
Gọi A,B,V lần lượt là biến cố "Học sinh được chọn thuộc trường A ", "Học sinh được chọn thuộc trường 
B ", "Học sinh được chọn giành HCV",
a) ĐÚNG
 51 17
 .
푃( ) = 51 24 = 25 = 0,68
b) SAI
푃( ∣ ) = 0,06 nên 푃( ∣ ) = 1 ― 푃( ∣ ) = 0,94.
c) SAI 46
Ta có: 
 푃( ) = 푃( ) ⋅ 푃( ∣ ) + 푃( ) ⋅ 푃( ∣ ) = 0.68 ⋅ 0,08 + (1 ― 0,68) ⋅ 0,06 = 625
d) ĐÚNG
 푃( ∣ ) ⋅ 푃( ) 0,08 ⋅ 0,68 17
 푃( ∣ ) = = =
 푃( ) 46 23
 625
Câu 2: Bút viết của một bảng vẽ điện tử được để trong một chiếc giá là một khối tròn xoay có mặt cắt qua 
trục là một hình phẳng có hình dạng và các kích thước gắn với hệ trục tọa độ như hình vẽ dưới đây:
Biết biên của mặt cắt gồm hai nửa đường tròn đường kính , và một cung của parabol đỉnh , nhận 
 là trục đối xứng; cho = = 3 cm, = 1 cm, = 3 cm, = 2 cm, đơn vị trên hệ trục là 1 
cm .
 1
a) Phương trình của parabol là 2 .
 = 2 
b) Diện tích mặt cắt (làm tròn tới hàng đơn vị) là 14 cm2.
 2
 1
c) Thể tích phần lõm của giá để bút được tính bằng công thức .
  2 d 
 0
d) Thể tích của toàn bộ giá để bút (làm tròn tới hàng phần chục) bằng 65,4 cm3.
Lời giải
a) ĐÚNG
Vì parabol đỉnh , nhận làm trục đối xứng nên phương trình của parabol có dạng 2 = . Điểm 
 1
 thuộc parabol. 2 . Phương trình 
 ( , ) = = +3 = ―1 + 3 = 2; = 1⇒1 = .2⇒ = 2
 1
parabol là 2 .
 = 2 
b) SAI
Diện tích mặt cắt bao gồm diện tích hai nưa hình tròn ( 푆1 ) và diện tích hình chữ nhật (푆2) trừ đi 
phần lõm parabol (푆3).
 1 8
푆 = 푅2 = ⋅ 1,52 ≈ 7,07 2;푆 = 3.3 = 9 2;푆 = 2 ⋅ ∫2  = ≈ 2,67 2Diện tích mặt cắt: 
 1 2 3 0 2 3
 2
푆 = 푆1 + 푆2 ― 푆3 = 7,07 + 9 ― 2,67 = 13,4 
Làm tròn đến hàng đơn vị là 13 cm2.
c) ĐÚNG